克罗内克把“自然数”称做上帝的恩赐，同时宣称其余都是人类活动的成果，是要用前科学的起源来予以说明的。但是他从来没有真正搞清楚，这些人类成果——这是能够在“原始”社会中，在儿童身上，以及在上帝所创造的其他生物（不要忘了奥托·苛勒的鹦鹉）身上进行研究的——在性质上跟数学家们自己较近的工作颇为类似。因此，康托尔作为基础用以建立集合论的那种一一对应关系我们从远古年代的物物交换（用一个物体换取另一个物体）中就已经知道了，一一对应关系的形成在儿童甚至在较高级的脊椎动物身上都是可以详细考察到的。布尔巴基的三个“矩阵结构”，其初级的但又是清晰的形式可以在儿童的具体运演阶段上观察到（《研究报告》第十四卷）。麦克雷恩和爱伦堡的“范畴”概念从“组成性功能”的水平（见本书第一章第Ⅲ节）上起就可以在儿童身上应用：这种应用无疑地是在琐碎的意义上讲的，但它表明了范畴的基本结构（有其蕴含的功能和有限组合的一类客体的基本结构；见《研究报告》第十三卷）的普遍性。
数学的认识论有三个传统的主要问题：数学虽然是奠基于极少数内容相当贫乏的概念或公理之上，为什么却这样富有成效呢；尽管数学具有建构特性，这可能成为不合理性产生的根源，但为什么数学仍然具有必然性从而保持着恒常的严格性呢；尽管数学具有完全是演绎的性质，为什么数学跟经验或物理现实是符合一致的呢？
A.在解决了对逻辑作同语反复的解释之后，我们将把数学的富有成效性视为是当然的。无论如何，数学上的同语反复概念纯粹是一种字面上的假设。它之得到公认还是没有能解释清楚下述这件事情到底是怎么回事，即经过了二十五个世纪之久，为什么仍然有可能以无穷无尽的料想不到的方式来论述同样一些东西呢。这是一个历史评论的问题，同样也是一个心理发生学的问题：在数学研究的过程中相继产生的一些新形式既不是什么新发现，因为它们是跟以前未曾给出的现实有关，也不是什么创造，因为一种创造暗示着某种程度的自由，而每个新数学关系或新结构从它构成的瞬间起就都具有必然性；正是这个“必然的建构”引起了关于它的组成机制问题。而发生学的研究能对这个引起争论的问题作出有意思的贡献，因为发生学的研究显示出，在数学家关于组成机制所讲到的东西跟儿童发展早期阶段所表现出的东西之间具有某种会合一致关系；因此发生学的研究对这些建构的心理根源，甚至生物根源，提出了可能的假说。
数学家一般把这些创新归因于存在着在运演的基础上引入无限数量的运演的可能性。在建构E和F两个集（这已经就是通过运演将客体组合起来）时，我们能把E中的一个x“运用到”F中的一个（而且仅仅是一个）y，从这里就出现了一种函数运演，它可以是一一对应的（在单一的x对应于y的情况下），也可以不是这样（在有好几个x对应于y的情况下）。E×F这个积，我们可以从E、F这两个集形成；我们也可以通过等值关系的分割来形成它们的商集（例如，把“同胞”关系应用于“人类”这个集，就产生了“民族”这个集）。用同样的方式，我们可以用组合办法从每一个集导出其“所有子集的集”，或者通过重复这些运演以得到建基于E和F之上的集的阶梯式体系。特别是，不管基础集的性质如何，我们都能够通过把对这些集进行运演所得到的共同特性抽象出来，而建构结构，于是就可以借助于理论来把这些结构作相互比较，如果存在着同构性（比如在欧几里得几何和实数理论之间）那么这些结构就是单值的，而在别的情况下（群和拓朴学）结构则是多值的①。所以全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而这种建构始终是完全开放的。标志着近代数学巨大进展的这种观点的改变，其最显著的迹象是那个与数学“实体”这个术语开始有了联系的新意义。数学实体已不是从我们内部或外部一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义；当数学实体从一个水平转移到另一个水平时，它们的功能会不断地改变；对这类“实体”进行的运演，反过来，又成为理论研究的对象，这个过程在一直重复下去，直到我们达到了一种结构为止，这种结构或者正在形成“更强”的结构，或者在由“更强的”结构来予以结构化。因此，任何东西都能按照它的水平而变成“实体”，这种情况反映出在本章第一节C段中已经指出的那种形式和内容的相对性。
①参看A.LichnerowiczinLogiqueetconnaissancescientifique（Encycl·pléiade），p.477.
虽然把数学家和儿童相比是显然不礼貌的，但是也很难否认：在数学家对运演不断地、有意识地、经过反复思考地建构运演，跟儿童据以建构数或量度、加法或乘法、比例等等的那种最初综合或无意识地协调，这两者之间存在着某种关系。作为归类和序列化的综合的整数，可以看成是对其它运演进行运演的结果；量度（分割和位移）①的情况也与此相同，乘法是加法的加法；比例是两个乘法关系的等值；分配关系是比例的序列；如此等等。但是甚至在最初的数学实体还没有形成以前，通过反身抽象过程，儿童就形成了最初的概念和运演，而上述这些例子只是反身抽象的高级形式罢了。反身抽象总是在于对从早期形式中演变出来的东西进行新的调整——这已经就是对运演进行种种的运演了。例如，把不同的类组合到一个包罗更广的类中，就是由以前那种把许多个体组合到一些类中去的活动为之作了准备的一种运演；它也是使先前的运演整合起来、丰富起来的一种新运演。这种说法也适用于传递性运演等等。
①“分割”是确定量度单位，“位移”是确定某一量度对象包含有多少个单位，这实际上就是进行“包含除法”的具体运算。——译注
B.现在让我们谈谈逐步被结构化的结构的严格性和必然性。梅耶逊是想把推理的作用归结为只限于运用同一性的过程的，他有“哲学的勇气”坚持认为：数学创新到何种程度，它就从现实借用到何种程度，并在这同样的程度上变成非理性的。就梅耶逊的观点说，只有同一性会给我们以不证自明性，而“根本不同”则超出了理性思维的范围：所以，运演本身可以认为是部分地自现实派生出来的，因为运演扩展了活动的范围；而且运演又引来了一个将随建构的增加而不可避免地增加的非理性因素。这种观点是有趣的，因为它暗示在丰富性和严格性之间有一种反比关系——虽然这不是在逻辑实证论的意义上说的，在逻辑实证论中标志着整个数学特性的那种同语反复，则暗示的是最大的严格性和最少的新异性。再者，梅耶逊是比戈布劳更为前后一致的，按照梅耶逊的观点，说明数学的富有成效性的那些运演建构仅仅是从早已被公认的命题中推导出来的。但是，已被公认的命题要末事先就包含着运演建构所得到的结果，因而就没有什么创新；要末并没有包含运演建构所得到的结果，那么在这样的情况下，已被公认的命题又如何能证实新命题的正确性呢？因为光是在早先的结构和新结构之间的无矛盾性是不足以保证新结构的必然性的。
需要说明的显著而又几乎自相矛盾的事实是：丰富性和必然性总是连在一起的。不可否认，所谓“现代”数学的显著进展，是以数学进展的两个互相关联的方面，即以增多了的建构性和提高了的严格性作为其特点的。所以，我们一定要在这些结构本身的建构的内部来探索这种以前布特罗曾称之为“内在必然性”的秘密。此外，看来区分必然性的两种水平是合理的：用科尔努的话来讲，这两种水平就是单纯的逻辑论证和为应予论证的结论提出“理由”的那些论证。前者只是使我们能看到结论是怎样从已把结论包含于其中的那些前提的组合中推导出来，而后者则抽象出一种导致结论的合成法则，这个法则再次把建构性和严格性集拢在一起。
一个特别明显的例子是由递归推论所提供的，在那里论证是以数的完整序列为基础，以致对一个结构的内部特性是根据整个体系的规则和这个结构的反复迭代来阐明的。而且存在着一种发生学上的显著类比（《研究报告》第十七卷）。归类和序列化的综合产生了数，但只是在七岁到八岁时才产生数的集合体的守恒；然而五岁半以上的被试，让他用一只手一次把一个珠子放到一个看得见的容器里，同时又用另一只手把珠子放到一个盖着布帘的容器里时，他们能够领会这两个集合体是会保持相等的。一个在别的测验中没能解决守恒问题的五岁儿童说：“只要你懂了一次，你就一直会懂”。（这似乎可以这样解释：每一次增加一个珠子就等于归类时的序列化，而手的运动的继续也有它自己的顺序，这引起了归类和序列化的局部而短暂的综合。）
总之，如果结构的增多是丰富性的标志，那末，结构的内部组合法则（例如可逆性P.P－1＝0；无矛盾性的起点）或外部组合法则（结构间的同构性），仅只根据结构的反复迭代所引起的那些闭合作用以保证结构的必然性（从发生学的观点去看传递性的例子：见本书第一章第四节）。但是在这里区分结构化的不同程度是有用的。因此，我们可以把那类结构称为“弱结构类”，在这类结构中不存在一条组合定律，使我们能从整体的特性过渡到部分的特性（例如从无脊椎动物过渡到软体动物）或从一个部分的特性过渡到另一个部分的特性（从软体动物过渡到腔肠动物）；并且把那些隐含着这种获得了良好调节的转换的结构（例如，群和它的子群）称为“强结构类”。这个在发生学水平上已然是正确的区分，也许同自戈德尔的工作以来就流行的那种关于结构“强度”有大有小的概念是有关联的。我们甚至不排除区别出不同程度的矛盾的可能性：例如，对我们说来，断言n－n0，似乎就比断言一种弱结构的质的类A－A0更加矛盾。无论如何，虽则在算术上可以证明一切零类都是同一的，但没有土豆并不等于没有菠菜。①
①有一个过分讲逻辑的餐馆主人的故事：他拒绝供应“不带土豆的牛排”，因为那一天他没有土豆；但是他却提出要供应“不带菠菜的牛排”来代替，因为他有着一些菠菜。
C.现在来谈谈数学和现实之间的关系。让我们首先指出，看来有可能把数学应用于世界，如果并不总是从量度的意义上来应用，至少在同构性和结构关系方面是可以应用的。当然这只是一种假设，但它是到目前为止即使是在尚未能应用数学的一些领域，如生命现象领域中，也已经越来越得到肯定的一种假设。于是就出现了一个令人感到奇怪的事实，那就是，一点也没有想到应用而是演绎地建构的运演结构，后来却为晚得多才发现的物理现象提供了构架或解释性结构：相对论和原子核物理学提供了许多这样的例证。
由发生学研究提出的观点是，如果基本的结构如我们已看到的那样是从活动的一般协调产生，而活动的一般协调又是从神经协调产生，那末，为了发现它们的起源，我们就需要追溯到机体协调和生物物理协调那里去：主体的运演和客体的结构之间的联系，于是在能够被演绎方法对外部经验的适用性所肯定之前就要到机体之内去寻找。因为一般地讲，正如布拉切特所主张的，在某种意义上也是亚里士多德所主张的，“生命是具有形式创造力的”，所以物理世界（有机体是这个世界的一部分）的物质形式同主体所建构的非时间形式的会合，看来在原则上是可以理解的了。
不那么好理解的是：为什么这种关系的连续性可以说没有中断过，因为在最初的机体结构同心理的形式运演结构之间，是插入了一系列极为漫长而复杂的重建过程的，从而使一个阶段上的结构能会合到另一个阶段上去（在有机体水平上），同时也插入了一系列极为漫长而复杂的、带有新型的重新组织的反身抽象（在行为水平上）。但是与起源于外界的学习和以经验为依据的理论相反，逻辑数学结构从不怀疑以前结构的有效性，而是通过把以前结构作为子结构加以整合而超过它们，以前结构的缺点只不过反映了这些早期结构形式的局限性罢了。一般形式的协调的连续性就是由与此类似的一种现象来保证的。
另一方面，儿童进行合理推论和实验的能力仍给我们留下了一个问题，这就是要去理解我们在其中只关心演绎推理的数学同经验材料的丰富多样性这二者之间的联系的性质。事实上儿童最初出现的数学活动可能看起来是经验性的：把算盘珠子拨拢来或者分开，用子集合体的排列来证实可交换性等等。但是与物理经验相反——在物理经验中信息是从专属于客体的特性中导出来的——这些“逻辑数学经验”的“直接理解”则只与活动所赋予客体的那些特性（联合、排列顺序等）有关。因此可以理解，这些活动一旦内化为运演的形式时，就能以符号的形式，从而也能以演绎的方式来进行，而且当无数运演结构已从这些基本形式开始被加工制成了时，这些运演结构跟“任何客体”的符合一致就在下述意义上得到了保证，即：没有物理经验能够曲解运演结构，因为它们是依存于活动或运演的特性而不是依存于客体的特性的。这里需要特别提一提的是空间运演，这种运演是从主体的结构通过反身抽象而产生的，也是从经验和物质的抽象产生的，因为客体本身就隐含着一种几何学。
现在我们应该转而注意物理学史上大量存在的那些情况，在那里，一定的实验数据不能用已知道的运演去处理，而需要建构一些新的运演。这种情况从获得认识开始起，一直到法则的加工制作和因果解释产生了一些似乎是从外部强加的结构的那些水平为止，都是能被观察到的。奇怪的是在这些简单的情况下，我们发现了一种过程，它在某些方面可与下述这些关系相比拟，这些关系在较高的科学思维水平上是存在于实验物理学和后来的理论物理学（理论物理学仍然依赖于实验），以及数学物理学之间的，数学物理学以一种纯演绎方式去再建实验物理学和理论物理学的已经建立的东西。例如，将近十岁到十一岁时儿童就有建立相互关系的最初尝试，但是这些尝试仍然是局部的相互关系，例如从两个不同的但却是未协调的系统导出的空间参照系统，或者考虑到了事物中的不相等关系，但又固执于加法程序的数量对应关系。然后，在第二时期，当两个参照系统一旦协调了的时候，或者是比例所特有的乘法关系一旦被加工制成了的时候，预见就成为可能的了。可是在这种情况下，由于缺乏适当的“直接理解”技巧，经验并无能力承担形成新运演的任务，正是主体的运演活动，才建构了“直接理解”技巧和（第三时期的）解说性结构。更精确地说，在第一时期，经验的作用只限于辨认以主体所能运用的运演为基础的过分简单化的预测是否真实，并促使主体去寻找更合适的预测。例如，在对一个把一条有弹性的带子拉长的力的分布关系的研究中，受试开始时是根据加法关系来推理的，好象伸长了的只是弹性带子的末端。他接下去又想，伸长是发生在每个不相等的片段的末端，但仍然以为在每种情况下伸长的长度都是相等的。以后的经验使他认识到他是错了，但因为他缺乏乘法运算结构和比例，他只好满足于局部的相互关系，他会坚持认为一个大的片段比一个小的片段伸长的多些，但又不知道多多少。第二时期是从理解比例开始的。可是我们必须强调，这种理解不只是在经验的基础上产生的：它为“直接理解”经验数据提供了必要的技巧；虽然经验对这种理解的建构给与了推动，但是产生这种理解的则是主体的逻辑数学活动。第三时期偶尔可以直接在第二时期之后出现，在这个时期伸长是以力的一种分布的、因而是均匀的传递来解释的。从数学的观点看来，这种因果的解释是有意思的。虽然我们将在下一段看到，这种理解认为运演是起因于客体的，但是，主体当初要是没有“直接理解”这种分布性法则，要是逻辑数学运演的建构当初没有在由此建构的运演被从因果关系上归因于客体之前就被“应用”于客体的话，那么，这个解释模型是不能加工制造出来的。
因此在这些发生学的事实，跟数学物理学利用由经验产生但不是由经验支配的自发建构的步骤之间，就存在着一个相对的会合点。如果超越心理发生这个范围，我们甚至还可以在下述两类关系之间看到某种类似性，这就是存在于（内生的）演绎和经验之间的认知关系和染色体组与环境的生物关系：染色体组以自主的方式构成一种“表现型的复本”，这种复本不单是从表现型的活动产生，而且又通过一种积极的塑造作用而与表现型的活动相对应。
