无效历史事实是一些非常平常的事实，它发生在过去，只不过现在人们已经无法对它做出判断了，这是一种在当今世界根本没有留下任何痕迹的事实。我最爱举的一个无效历史事实的例子是：
A．我牙齿里面有些金子曾经属于凯撒。
B．我牙齿里面的金子曾经并不属于凯撒。
根据逻辑，以上两句话中必定有一个是事实。等等，根据“近似算子”那章的精神，我们不应该怀疑这些“显而易见”的选言式命题吗？让我们想想，怎么可能A和B都没对事实有明确的表达呢？如果凯撒时代的所有权是不明确的，那么凯撒只会近似拥有一部分黄金，就如同今天英国女王依然是领土上所有天鹅的主人(99)。假设关于所有权、关于黄金的概念是界定清楚的，这两句话中必有一句表达了事实，但是我们几乎永远无法确定到底哪句话才是真的，不论我们花多少时间进行多么复杂的物理研究。
真的吗？我们可以想象，在某种情况下我们几乎能确定A是真的还是B是真的。如果基于众多有据可查的历史事件，我们发现我牙齿里的金子是有“来历”的，千年以来有人小心翼翼地监控并记录下了它的流向，那么我们可能就会相当明确的认定A是真的。假设我的牙医从博物馆购买了一枚古老的金戒指，那是著名的“凯撒小指之戒”，有众多文献记录可以证明，几个世纪以来那枚戒指从一个国王传到另一个国王直到流转到了那座博物馆，而且还有一盘录像带可以证明牙医融化了这枚戒指并且把金子灌入了我的牙齿石膏模型。这个故事真够古怪的，但它确实是在物理可能性的范围之内。我们还可以设想另外一种情况，假设我是一个淘金狂，旅行到了冰川消融后的阿拉斯加州。这片土地上万年来都被冰雪所覆盖，我在那里收集了金子并把它们镶到了我的牙齿里。如果这样的话，那么B就变成了真的，而且我们会对此更加确信。但是，如果没有这种既离谱又证据充分的故事的话，那么我们大致应该相信：我们永远也无法知道到底A和B谁是真的。所以无论哪一个是真的，它都是一个无效的历史事实。
还有一个有趣的难题是由量子力学引起的：即便追溯到了我牙齿中所有金原子在这几个世纪中的运行轨迹，只要凯撒戒指上的一颗金原子与来自外界的金原子发生了碰撞，甚至只是非常接近，在原则上我们就无法确定，“碰撞”发生后哪一个原子是来自凯撒的，哪一个原子是来自外界的。与其他事物不同，原子或比原子更小的粒子无法留下指纹或者什么别的可以让我们识别其身份的东西，而且我们也无法持续地追踪它们，所以持续的同一性对于粒子来说并不一定是有意义的，这为我们了解有关那些黄金的事实又增加了一个障碍。
不论整个宇宙是不是决定论的，在设计上，电子计算机却是决定论的，它可以通过数字化而不是模拟来消除亚微观噪声，甚至是随机量子带来的涨落。康威的生命游戏就是一个活生生的例子，不过这种数字化决定论无处不在。数字化是为了决定论的需要，而数字化背后的基本理念是：我们可以有意创造无效的历史事实。把所有主要事件强行划分为两类，比如高和低、开和关、0和1，这让同一类别之间微小的差异被无情的忽略，比如不同数值的高电压、不同特点的开状态，深浅不同的0。这些差异并不决定任何东西，其自身也消失得无影无踪。如此，这些差异对计算机随的一系列状态根本起不到什么不一样的影响。
比如，你的朋友从网上下载了一首歌，刻录到了两张CD中，这两张没有贴标签的CD将用于数字拷贝，我们把一张叫作A，另一张叫作B，但我们当然不会写在上面。你请朋友在漆黑的房间中把其中一张CD里的歌曲拷贝到你的笔记本电脑里。你不要告诉他用的是哪张，并且在你把CD交给他之前要消除掉CD上所有的指纹证据和DNA痕迹。等他拷贝完了，再把两张CD放进一个装满其他CD的袋子里，使劲摇一摇。现在，我们便获得了两个备选的无效历史事实：
A．你的笔记本电脑里的歌是从光盘A拷贝下来的。
B．你的笔记本电脑里的歌是从光盘B拷贝下来的。
对一首歌进行比特流的物理编码时，在微观的精细结构当中总会有差异。所以当你把一张CD拷贝到计算机内存中时，内存的电压也会具有独一无二的精细结构，如果再把文件从内存拷贝到硬盘或者闪存盘中，它们也会与别的拷贝之间存在微小差异。我们为了方便而称作拷贝的那种过程，其实总会另外制造出一种连续的模拟物理信号，这种信号带有独一无二的精细结构，因为世界上电子和质子就是这么工作的。但是数字化的天才之处就在于，所有这些精细结构都能够在数字化过程中被“忽略”，在“标准修正”中消除。当你拥有了一套标准，就像拥有了一张字母表，每个字母都有多种风格的书写方法，但这不会造成什么影响，因为读起来它们依旧是字母表上的这几个。在电脑中，一切都由0和1书写。
所以，除非那两张CD中有一张在数字化的过程中发生了明显的错误，例如数值写反了，0写成了1或者1写成了0，否则我们无法分辨它们。数字化可以避免将两张CD的个性传播到它的拷贝中，所以经过数模转换，从播放器或者耳麦中传出来的歌声就不再带有CD上的个性。有一些音乐发烧友被誉为“黄金耳”，他们可以听出黑胶唱片和最好的数字唱片之间的差别，可以分辨压缩格式（比如MPEG格式）的音乐文件和非压缩格式的音乐文件之间的区别。但是如果我们要问两段同样的音乐是否出自同一张CD，这些音乐发烧友们恐怕也只能随便猜了。这是一个无效的历史事实，这些拷贝中的细微结构不仅人耳分辨不出，就算用电子显微镜也不行。因为数字化处理已经在物理上杜绝了信息传输的可能，所以要是有人能凭能力分辨不同的话，那他绝对是一位超自然的超感觉能力者。
由于计算机是数字化的装置，所以让它执行几亿步的运算之后再回到与一开始完全相同的数字状态简直是小事一桩，所以，几亿步的数字操作我们也可以一遍一遍又一遍地看它重复执行。
“等一等，”有人反对道，“你说计算机是决定论的？你说我们能让它反复执行完全相同的上亿步操作？打住吧！要是这样的话，我的计算机为什么这么容易崩溃？为什么我的word周一还用得好好的，周二干同样的活儿时就卡死了呢？”
那是因为你做的不是完全相同的活儿。它卡死了不是因为它是非决定论的，而是因为它周二的状态与周一的状态并不完全相同。这之间你一定干了点什么，要么是打开了一个隐藏“标志”，要么就是激活了word中某个你以前完全没用过的功能。某个发生了改变的数据因此就在程序关闭时被保存了起来，等到周二，这微小的变化就让你的word崩溃了。要是现在你能想办法把它复位到和周二上午完全一样的状态，你的计算机还是会崩溃的。
那“随机数发生器呢”？我知道我的电脑里内置了一个可以随时制造随机性的装置。
如今，每台计算机都装有内置的“随机数发生器”，它可以根据需要在任何程序中运行。当电脑还没发明出来时，你可以买一本全是随机数字表的书以供研究使用，这一页页的数字全部严格通过了数学家们设计好的随机性测试。当然，对于同一版书而言，每一本中的随机数列都是一模一样的。其中最优秀的一本书是兰德公司于1955年出版的，包含了一百万个随机数字。但是，由所谓的随机数发生器生成的随机数字序列并不具有真正的随机性，它拥有的只是虚假的随机性：它在某种意义上是“数学上可压缩的”，也就是说，这个无限长的数列能够被某个特殊的、有限的机制所把握并计算出来。你的随机数发生器是一个程序，假设它的大小有一兆（800万比特），而它却能够生成一个（每次生成的都是同一个）无限长的数列。如果你想把这个数列发送给别人，不需要在一封无限长的电子邮件里逐个记下每个数字，你只需要把一兆大小的算法程序发给他就行了，通过这个程序就能获得整个数列。以上就是虚假的随机数发生器的基本理念了。
比如，每当你重启计算机时随机数发生器就会开始工作，它永远都会产生完全相同的数列，但是这个数列本身却是完全无规律的，好像它是由真正随机的量子涨落带来的一样。与其说计算机内置了一张“随机数字表”，不如说它装有一盘超长的录像带，录像带中包含了对一个公正的轮盘赌数百万赌局结果的历史纪录。当你开机时，录像带就会倒回到“开头”，这一点有时很重要。计算机程序在不同的“选择”点上利用了随机性，然而，假如初始状态相同，它一遍一遍地重启只能得到同样的状态序列。有时候，如果你想检测一个程序的bug，那么你总是在检测这些状态的同一个“随机样本”，除非你不时地手动在该程序的数据流中插入一个“随机”数。
