那么，什么是逻辑方法呢？我们又该怎样培养这种思维方法？
要学好逻辑方法，光是了解各式各样的推理方法，并训练大脑掌握这些方法是不够的——不过能做到这两点就已经很难得了，因为在很久之前，人类大脑的演化不是为了逻辑推理，而是为了更多地捕获新鲜的食物。因此，很少有人能在没有大量练习的情况下，就拥有严密的逻辑。
但要成为一名擅长推理的人，或者让普通人了解推理的核心知识，光做到以上两点是不够的。推理的艺术需要我们从正确的角度看待事物，通过一般原理掌握事物的全貌，并不断整合事物周边的相关细节。人们必须通过不断的训练，认识宏观思想的重要性并将其牢牢抓住，才能成为优秀的推理者。我认为，几何比代数更适合用作这方面的训练。代数知识更为晦涩，而空间感则是人人都有的。而且，几何涉及的简化或抽象化，即将所有不相关的物质属性，例如颜色、风格和重量统统剔除，这本身也是一种需要培养的能力。此外，几何里的定义和有待证明的命题，要求我们必须对研究对象的各个基本事实和基本事实之间的关联有一个清晰的认识。所有这些，都还只是几何的浅显知识而已。当我们深入研究该学科的发展，我们会发现越来越多的亮点。学生们在刚刚接触几何时，不会遇到任何难以记忆的抽象知识。而在学习推理的初期，只要学习方法得当，学生们所遇到的知识大多也都是清晰易懂的，这些知识将带领他们完成每一阶段的学习。因此通过几何，学生们很快就能了解逻辑方法的核心。
现在，先不考虑普通学生接受能力有限和教学时间受到其他学科限制的问题，几何能为博雅教育带来怎样的帮助呢？我想向大家介绍一下几何学习的几个阶段，不过这些阶段并不一定就要按照我介绍的顺序进行。
第一个阶段中，我们要学习全等。实践中，如果几何图形在不断变化的外部条件下能保持内部特质的不变，我们就可以判定它们全等。然而，不论是什么样的全等，本质上都是两个空间区域点对点的对应，如此一来，所有的对应的距离与角都是相等的。需要注意的是，边与角的对等才是全等，而测量是否对等的方式，例如码尺，不过是帮助我们更轻松地判断图形是否全等的工具而已。我指出这点是希望大家明白，全等的重要性并不只是在于涉及的逻辑推理。这个概念本身便代表一种更为广阔、深远的概念，非常值得我们认真研究。全等涉及的命题能阐释三角形、平行四边形和圆形的基本特性以及两个平面图形之间的关系。不过在教学中，我们应该对证实了的命题进行严格筛选，去除那些多余的不言自明的命题，仅仅留下那些非常基础、非常重要的命题。
第二个阶段中，我们要学习相似性。这一阶段的教学中，我们可以只介绍三四个基本命题。相似性是对全等的扩充，也是两个空间之间点对点的对应。如果要对这一阶段的学习进行拓展，我们可以向学生介绍相似或位置相似的直线图形，研究它们的一两个简单特性。这一阶段的知识可以直接运用到平面图和地图的绘制中。不过我们要记住，要将主要理论用于实践，就必须掌握好三角学的原理。
第三阶段要学习的就是三角形原理。三角学研究的是相似图形的相互关系的特性和图形旋转的周期性问题。在这一阶段，我们会少量运用以数与量的研究为基础的代数分析法，这也是我们首次向学生介绍这一方法。我们要让学生们明白函数周期性有多重要。解三角形时，或者将解三角形的方法运用到测绘中时，我们只需运用函数的一些最为简单的特质。课本中密集出现的公式虽然很重要，但对几何学习毫无用处，所以我们在教学中要避开这些公式，除非学生能以它们为案例进行证明练习。
三角学的教学也表明了剔除公式的重要性。当然，我的判断也有可能是错误的。如果我们将三角学的教学限制在三角形的一个角上，并且去除与正弦、余弦和两角总和的多余公式，那么三角学就能很好地运用到教育之中。我们能通过绘制函数图来解三角形。如此一来，我们就能通过书本知识和例证，让学生们明白三角学的三个用途：1.通过图像分析并展现全等和相似性的理论；2.解决测量中遇到的主要问题；3.掌握必要的基础函数以展示周期性和波动的特性。
如果我们想要拓展三角学的教学，就应该加入一些公式的学习。但我们也要注意，不要让学生专门学习遇到的公式，即不要让他们投入太多的时间与精力去熟练掌握那些公式。老师可能觉得运用案例予以讲解会很有趣，但那些都不是学生应该记住的知识点。而且，不论是在三角学还是在前面几个阶段的几何教学中，我们都应该剔除外切圆和内切圆的知识。这些知识本身没有什么问题，但对非专业的基础课程来说，这些知识是无用的。
如此一来，三角学的实际书本内容就被压缩到了比较好掌控的程度。几天前我听说有一所美国大学要求学生记住90个三角学的公式或推算结果。幸好我们的教育还没有差到那种程度。事实上，在三角学的基础教学中，我们几乎达到了初级课程的理想目标。
第四个阶段的学习内容是解析几何。由于代数学习中的图表部分已经涉及解析几何的基础概念，因此在这一阶段，我们只需要对课程内容进行严格筛选，通过方程式向学生们介绍直线、圆和三种圆锥曲线即可。对这一阶段，我想向大家指出，我们在教授数学知识的时候，不用将所有的知识都证明一遍。例如，在平面解析几何中，对二次方程的一般形式进行化简虽然超出了这一阶段大部分学生的接受能力，但这并不妨碍我们阐释圆锥曲线的基本内容，介绍各种类型的曲线。
我们应该将“几何圆锥曲线”划分为单独的科目进行教学。当然，在适当的情形下，如果我们能将一些简单图形的直接推论运用到解析几何中，那对我们的解析过程将有很大的帮助。但是几何圆锥曲线是从圆锥曲线以焦点和准线为基础的定义发展而来的，这便是几何圆锥曲线的致命缺点。它是非常深奥的。在这套理论中，圆锥曲线的基本定义是SP=e.PM，从这里开始就已经很不利于教学了。这个公式很晦涩，而且看起来毫无意义。我们为什么要学习这种曲线公式而不学习其他的曲线公式？但当我们开始研究笛卡尔[60]方法后，我们自然首先要考虑一次方程和二次方程式。
在理想的几何教育中，第五阶段的内容应该是射影几何学，其基础概念包括交比和投影。投影是点对点关系的又一个案例，前面在全等和相似中我们已经提过这种对应关系。在这一阶段，我们同样要避开令人困惑的细节知识。
射影几何学就是要让学生明白如何通过推理证明图形射影中的关联关系和不变的图形性质。图形经过射影变换后，一些图形性质依然保持不变是射影几何学的重要知识点之一。交比是射影中涉及度量的基本不变量。我们在教学中选择的命题，应该让学生了解以下两个相互联系的过程。第一个过程是通过简化进行证明。这里的简化指的是心理上的简化而非逻辑上的简化，因为在一般案例中，逻辑上的简化是最为简单的简化。这里所选取的应该是我们最熟悉或最简单的案例，然后以此来证明命题。另一个过程是从已知的一般真理推断出具体案例，前提是我们能够发现这些案例，或者有评判标准来检验它们。
圆锥曲线的射影定义以及通过二次方程推导出的各类曲线都是很容易就能阐释清楚的，但这些其实都是射影几何学的边缘知识。我们只用来把这些知识教给学生，不用对其进行证明。
这里所介绍的几何教学内容并不多，但完全是理想化的几何教学，是永远也无法实现的。每一个阶段所涉及的书本上的数学推理知识都非常少。但我们要对这些知识进行详细讲解，让学生明白每个命题的重要性。为此，我们可以选择一些能展现各个几何领域思想的案例进行讲解或让学生自己去证明。如此一来，学生就能学会如何对空间的首要特性及其证明方式进行分析。
通过以上方式进行的数学原理教学能训练学生的逻辑思维，帮助他们了解科学和哲学研究的基本原理。如今，我们已经在数学教育改革上取得了惊人的成就，我们能否推进改革，将这些覆盖面更广、哲学性更强的思想纳入课程体系呢？坦白说，要以个人之力实现这一目标非常困难。由于我所提及的那些原因，所有的教育改革推行起来都十分困难。但只要我们齐心协力、坚持不懈，只要广大教师都认识到这一理想的教学模式，我们就能走得更远，最终实现惊人的改革成果。慢慢地，我们的教科书能得到优化，考试也不再像过去那样强调过于专业的知识。事实上，大多数教师都非常希望数学能不再因为刻板无趣而受人诟病。
