数学很深奥吗？从整体上来说，确实如此。人类的一般判断是可靠的。
从人们对数学的认识和课本上的数学知识看来，数学确实是深奥的。一般原理能演绎出无数个推论，而且每一个推论比上一个推论更加深奥难懂。我的任务不是为数学的深奥地位进行辩护。它已经是公认的深奥学科了。我想强调的是，数学令人着迷的地方，正是它难以被用作教学工具的原因。也就是说，从一般前提演绎推论出无穷无尽的推论，推论之间关系复杂，与最初前提的关系相距甚远，数学方法多种多样，具有抽象性的特征，这种抽象性能够带领我们通向永恒的真理。
当然，数学的这些特性对学生们来说都是无价的珍宝，自古以来吸引了许多顶尖的人才投身其中。然而我想指出的是，除了那些精挑细选的优秀学生，数学的这些特性是不适合运用到普通教学之中的。数学中充满了数不胜数的细节知识，看起来即与伟大理论无关，也与日常生活脱节，学生们对此只会感到不知所措。对教育而言，这种不断向学生灌输细节知识的方法是最无用的。
因此，如果想把数学运用到普通教育之中，我们就必须对教学内容进行严格的筛选和调整。当然我并不是说，不论投入多少时间，普通学生的数学造诣都无法得到很大的提高。不论他们在数学方面的进步多么微小，数学在各个发展阶段都是自然的，不是纯粹的思维游戏。因此，我们要将数学的某些特性严格地排除出去。我们不能让年轻的学生认为科学是深奥的，而是应该以简单直接的方式将重要的一般性原理传授给他们。
在数学教育改革方面，我们这一代教师取得了值得我们自豪的成就。我们的改革很有力，并且在如此短的时间内取得了出乎意料的成果。对公共考试背后确立已久的课程体系进行改革是一项艰巨的任务，其难度超乎人们的想象。
即便如此，我们还是取得了很大的进步。至少，我们打破了僵化落后的教学模式。我想向大家说明的是一个指导思想。我在前面其实已经说过了，那就是让教育中的数学科目不再晦涩难懂。
我们的课程应该以简单明了的方式向学生介绍一系列重要的知识，其他的细枝末节都应该被严格剔除。数学教育的目标是让学生熟悉抽象思维，明白如何将其运用到具体情形之中，并且掌握逻辑推理的一般方法。确立了这个理想目标后，我们就会知道，没有比盲目地增加课本中的定理更加糟糕的事情了。这些定理出现在课本中的唯一理由是，出题人能通过简单的题目对学生进行考查。课本的内容非常重要，必须清晰地阐明知识点。使用的例子要尽可能多，可以是抽象的特殊个例，也可以是具体的实际运用，但必须直接对定理进行阐释。在此我还想指出一点，如果考试中出现的案例依旧涵盖了很多深奥的细节知识，那我们对课本的简化就没有意义了。有人认为，习题能测试一个人的能力与天赋，而书本知识只能测试一个人有没有背课本。这种观点是错误的，至少以我的经验看来是错误的。只有那些为了奖学金而死记硬背的学生，才能得到好成绩。好的课本不应该根据错误的大纲，将零散知识拼凑在一起；而应该为学生提供丰富的直接案例，这样的课本比考试更能测试学生的能力。这也说明考试会对教学产生不良影响，但这都是题外话了。
数学的基础知识并不深奥。数学很抽象，但将数学纳入博雅教育中的主要目的之一就是训练学生掌握抽象概念的能力。这门科学中的抽象概念，是人类大脑很自然地以精确的方式接触到的第一批抽象概念。数学涉及数的关系、量的关系和空间关系，这不是一般的数学定义，更体现了数学的科学面向。不过我们现在讨论的是数学在教育中的作用。数的关系、量的关系和空间关系，这三种关系是互相关联的。
在教育中，我们要从特殊案例出发，然后上升到普遍原理。因此，学生们应该通过简单的例题来掌握知识的运用方式。在此我想指出一点：我们的目标不是盲目地让学生学会大量的数学定理，而是通过多年的教育，帮助他们意识数的关系、量的关系和空间关系，这些才是最为重要的。这种训练应该成为所有哲学思维形成的基础。事实上，以正确方法教授的基础数学，恰好能为学生提供这样的哲学训练，普通学生也能将其掌握。但是，我们要不惜一切代价避开那些毫无意义的细节知识。你可以为学生提供尽可能多的例题，让他们学习数个学期或者数年，但这些例题必须是对主要原理的直接阐释。只有这样，数学才不会变得过于深奥难懂。
但是，我所介绍的教学方法并不适用于以下两类人：想成为专业数学家的学生，和出于职业需要，必须掌握一定的数学细节知识的学生。我所讨论的是针对学生整体的博雅教育，而前面所提的两类学生也被囊括在其中。将数学广泛运用到教育中时，我们应该让学生通过实际案例学习简单的普遍定理。这类学习应该是自成一体的，与前面提到的专业学习完全区分开来，但其本身也能为专业学习打下良好的基础。在最终的学习阶段，学生们应该已经掌握课程中的一般定理。就我所知，目前处于数学教育最终阶段的学生应该能证明与三角形连在一起的圆的某些特性。这些特性是数学家感兴趣的。但是，这些是不是太过深奥了？它们与博雅教育的理想目标之间有什么关联吗？古典文化教育中，所有的语法课程最终都要学生阅读维吉尔和贺拉斯[57]，了解这些伟人的伟大思想。而数学教育的最终结果，是让学生明白九点圆[58]的属性，这样的结果真能让我们满意吗？能让我们为自己的学科终于在教育中占据一席之地而高兴吗？坦白说，这难道不是一种“倒退”吗？
我们这一代数学教师在数学教学的改革方面呕心沥血，所以我们要相信，自己可以通过课程体系的改革，为学生留下比三角形的“两解情况”[59]更为宝贵的知识财富。
