3. 题外话：指数发展究竟是什么？
一些警世寓言
在讨论大爆炸以来的宇宙扩张或工业革命开始以来发生的社会经济巨变时，我一直在使用“指数级增长”和“指数级扩张”的说法，仿佛人们都能很好地理解它们似的。其实，我有些武断地使用了“指数”一词，而未详细解释含义和隐含意义。我或许低估了普通公众的知识和理解能力，但我们通常会听到受过良好教育的记者、媒体专家、政治家、企业领袖使用“指数”这个词语，他们使用这个词语的方式表明，他们并不完全理解它的含义，也没有意识到它背后隐含的意义。事实上，我时常感觉到，如果他们能够意识到这个词语的意义，使他们确信我们亟须谨慎和战略性地思考长期可持续性带来的挑战就会更加容易。由于这个概念太重要，在本书中扮演关键角色，我想要短暂地离题，冒着卖弄学问的风险，进一步解释其含义和意义。
“指数”是一个类似于“动量”或“量子”、来源于科学语境的技术词语，有着精准的定义。
但由于这个术语暗示了有用的但我们在日常语言中没有充分交流的概念，它成为当今的时髦词儿。在口语中，“指数级增长”通常被理解为非常快速的增长。例如，在我的词汇表中，与“指数”相关的首个含义便是“快速增长”。事实上，指数级增长在开始阶段十分缓慢，甚至是不疼不痒的，之后逐渐缓慢地转变为快速增长。但这并不是事情的全貌。
人口的指数级增长在数学上的定义是，人口规模的增长速度（例如，每分钟、每天，或者每年）与现有的人口规模存在直接的正比关系。因此，人口规模越大，增长速度越快。举例来说，如果呈指数级增长的人口规模扩大了一倍，它的增速也将提高一倍，这意味着，人口规模越大，增速越快。如果不加限制，人口规模和增速最终都将变得无穷大。
在日常生活中，你非常熟悉这一类的增长，尽管它们并不常常用“指数级增长”来描述。
如果单位时间的增长速度与当前规模直接相关，人们通常会说相对增速或百分比增速是常数，这听起来平淡无奇。这正是银行在计算你的投资收益率时用到的经典复利概念。因此，当总统、财政部部长、总理和首席执行官宣布，他们的国家或组织今年的增长速度达到5%时，或者银行告诉你储蓄收益率为5%时，他们所要表达的其实是，这些是指数级增长，明年的绝对增长率将比今年高出5%。因此，如果其他条件不变，每个人都会持续变得越来越富有、越来越繁荣。即便总统一脸严肃地宣布本季度的经济增长率仅为1.5%，并由此得到许多有关经济活力不足的负面反馈时，他其实是在说，经济在以指数级增长，我们依然处在“规模越大，增长越来越快”的轨道上，只不过是增长速度变慢了。在一个不变的百分比增速下，每个人都会变得越来越富有、越来越繁荣。因此，我们痴迷于激素一般的指数级增长毒品也就不足为奇了。它真的很高，是我们经济动态取得巨大成功的真实写照。
无论是经济还是人口，一个体系的增长通常通过倍增时间体现，即该体系规模增长一倍所需要的时间。指数级增长的特点是拥有不变的倍增时间。这听起来似乎也平淡无奇，直至人们意识到，人口从1万倍增到2万所需的时间与人口从2 000万倍增到4 000万的时间是相同的，而前者只增加了1万人，后者则增加了2 000万人。令人惊讶的是，全球人口的倍增时间事实上正在变得越来越短，正如我在前文中指出的那样，全球人口从5亿倍增至10亿用了300年时间，而倍增到20亿用了120年，再倍增至40亿仅用了45年时间，如图5–1所示。因此，直到最近，我们一直在以不断加速的速度增长，其实比纯指数级速度还要快！尽管在过去50年间，这一加速度开始放缓，但我们依然是在以指数级增长。
相比于给出更多的定义和枯燥的统计数据，我想要讲述几个有趣的故事从而更加生动地解释这些观点。指数级增长的吸引人之处以及陷阱一直都为人们所熟知，尤其是在从古代便开始理解并使用复利概念的东方。这在世界文学的伟大史诗《列王纪》（ Shahnameh ）中有所体现，该书是一千多年前由受人尊敬的波斯诗人菲尔多西（Ferdowsi）所著。它是世界上最长的史诗，花费了30年时间才最终写就。该书的撰写时期恰好也是国际象棋从发明国印度引入波斯之际。随着国际象棋变得越发流行，菲尔多西为了纪念它，利用象棋棋盘解释指数级增长的意义。故事是这样的：
当国际象棋的发明者向国王展示这个游戏时，国王立即被它吸引。国王表示，发明者可以提出自己想要的奖赏，因为他发明了如此精妙和有挑战性的游戏。这位熟悉数学的发明者请求国王给予他看上去极为谦卑的奖赏——米粒。但是，米粒需要按照以下方式分配：国际象棋棋盘上的第一个格内放1粒米，第二个格内放2粒米，第三个格内放4粒米，第四个格内放8粒米，第五个格内放16粒米，以此类推，每一个格内放的米粒数都是前一个格内放的米粒数的两倍。尽管国王因为发明者对自己的慷慨表现出的反应太微不足道而感觉受到了冒犯，但他还是接受了发明者的请求，并命令国库数出他要的米粒。然而，到了周末，司库仍然没有完成数米粒的任务，国王便把他招来并询问他拖沓的原因。司库告诉国王，即使穷尽整个王国的财富也无法满足发明者要求的奖赏。
图5–4 国际象棋发明者想要的奖赏
让我们来看看，为什么说司库的反应不仅是正确的，而且事实上还低估了奖赏的规模。
实际上，这是一道很简单的计算题。一个国际象棋棋盘由64（8×8）个格子组成。发明者要求的奖赏是，第一个格子放1粒米，第二个格子放2粒米，第三个格子放4粒米，以此类推，到第8个格子时，需要放2×2×2×2×2×2×2=128粒米。然而，当我们数到最后一个格子，即位于棋盘右下角的第64个格子时，其中放置的米粒数量应该是63个2相乘（2×2×2×2×2×2……，要乘上63次）。这个数字非常惊人，如果用笔记本电脑或智能手机上的计算器计算，你很快便可以确认结果——9 223 372 036 854 775808粒米，将近1019 粒米。
这些米粒堆积起来，甚至会比珠穆朗玛峰还高。
这个故事说明了没有限制的指数级增长的惊人力量和终极荒谬，它也表明了指数级增长的一些不为人所知的特点：开始时令人惊讶的缓慢，而一旦释放出来，便完全不受控制，将它面前的一切吞噬。此外，在任何一个时刻，呈指数级增长的人口规模都要大于此前任何时刻人口规模的总和。例如，任何一个格子中放置的米粒数都会超过此前所有格子中放置的米粒数的总和。因此，现在生活在地球上的人类的数量超过人口大爆炸以来至今的人口总和。
我们的下一个警示寓言要说的就是可能出现的无法维持的人口规模或系统中突然出现的“无穷量”。正如我将在后面谈到的，在经历了指数级增长的自然产生的群落中，如森林和菌落，通常会自然地出现反馈机制，导致出现增长的生态限制，这通常与竞争力量和环境自然的限制有关系。
这便引出了我的第二个警示寓言，它包含了一个犹太法典式的问题。这个故事是以虚构的思想实验的形式展开的，受到了现实生活中细菌菌落增长的启示。假设我们想要准备一种抗生素的样本，如盘尼西林，并以1个细菌开始，这个细菌每分钟都会分裂为2个细菌。1分钟之后，我们就会拥有2个细菌，而它们中的每一个在1分钟后又会分裂为2个，于是我们会得到4个细菌。又过了1分钟，我们得到8个细菌，然后是16个细菌，以此类推，每过一分钟，数量都会翻番。很明显，这与棋盘上的米粒的故事很相似。假设我们从早上8点启动这一增长过程，并确保有足够的营养品能使容器在中午12点之前充满细菌，那么问题来了，容器会在8点至12点之间的哪个时间被充满一半？
那些得出错误答案的人通常会给出10:30或11:15这样的中间答案。而令人惊讶的是，正确的答案是11:59，就是中午12点之前1分钟。我确定你能明白：由于细菌数量每分钟都会翻番，所以在整个过程于12点结束之前1分钟，即11:59，容器内的细菌数量肯定是最终数量的一半。
我想要把这个实验再往前推一步，把它反过来：在中午12点之前1分钟，容器是一半满的；之前2分钟，容器是1/4（1/2×1/2）满；之前3分钟是1/8（1/2×1/2×1/2）满。以此类推，在正午12点之前5分钟，即11:55，容器只有1/32（1/2×1/2×1/2×1/2×1/2）满，也就是说，容器只填满了3%，几乎看不到细菌。按照这个方式来计算，在11:50，容器只填满了0.1%，看起来空空如也。因此，在这个小宇宙的大多数时间里，整个容器几乎是空的，尽管菌落一直在以指数级速度增长，只是在最后几分钟，容器内才出现了肉眼可见的变化。
现在，让我们以生活在菌落中的细菌的视角来看待这个问题。即使是在100代之后，相当于“真实”时间中的100分钟，相对应的是“人类时间”的2000年（假设人类每一代为20年），生命依然精彩，食物依然丰盛，菌落仍在持续扩大，并在它们所处的小小宇宙中不断开拓。即使是在200代之后，所有一切看起来仍然很好。甚至在235代之后，情况仍然看上去很好，尽管一些细菌或许已经意识到，它们所处的宇宙是有边界的，而且首次感觉到食物开始有些稀缺。很短的时间后，在第239代，当细菌总量已经达到庞大无比的1071 时，对每一个细菌来说情况开始变得异常糟糕起来。而在下一代，所有一切都结束了。
尽管这个小故事的细节并不很准确——细菌数量倍增的时间通常为30分钟，而非1分钟，更重要的是，有毒废弃物的产生以及由此而来的细胞死亡也被忽略了——但基本信息和不受限制的指数级增长所带来的影响是真实的。我刚才的叙述说明了真正的细菌菌群的增长轨迹和寿命，你可以在任何一本初级的生物教科书中找到它。正如你所看到的那样，它勾画出了我刚刚讲述的故事轮廓：快速增长，然后是停滞和崩溃。重要的是，这个系统是封闭的，这意味着群落可获得的资源是被限定的。很明显，这与我们在地球上所处的封闭环境相同，我们几乎完全依赖化石燃料，而不是由太阳提供动力。尽管指数级增长是我们作为一个物种取得非凡成就的显著证明，但灭亡的种子已经内置其中，大麻烦的征兆就在眼前。
图5–5 封闭系统的增长曲线
