古往今来，科学的发展都是一个去伪存真的过程。虽然在过去很长的时间里，科学的发展受到一定的限制，我们只能在现有物质水平的认知边界中寻找规律、发现知识。但现在，尖端科学领域的发展始终领先于物质水平，换句话说，是科学的发展在推动社会的进步，实际上，这就是科学领域的破界创新带来的效果。
关于科学领域的破界创新，我们用一个具备广泛认知基础的知识举例说明。众所周知，在数学这门学科中，我们主要学习的是两个门类的科学：一个是几何学；另一个是代数学。这两门学科贯穿于我们从小学到大学学习数学的全过程。在这里，重点讲解一下几何学这门学科的发展历程。
实际上，我们真正开始接触几何学是在初中阶段，这个时期我们学习的几何学起源于公元前3世纪古希腊数学家欧几里得创作的《几何原本》，它也被称为欧氏几何。
欧氏几何建立在5个公设之上，基于这5个公设，可以推导出这个系统中的全部命题，从这个角度来说，这5个公设就是欧氏几何的第一性原理。
在欧氏几何被沿用的两千多年里，数学家一直将这5个公设中的前4个奉为圭臬，但唯独对于第五个公设，数学家一直持怀疑的态度。欧氏几何的第五公设又被称为“平行公设”，它还有另外一个更广为人知的表述，那就是“通过直线外的一点，有且仅有一条直线与该直线平行”。科学家之所以对这一定理产生怀疑，原因有二：一是在欧氏几何的系统中，直到最后的部分才用到第五公设；二是它与其他4个公设存在一定的区别，只有加入了前提条件才成立。所以，科学家怀疑第五公设可能是一个次级定理，是在前4个公设的基础上推导出来的。但受限于当时的认知边界，在很长的一段时间里，科学家都未能成功地解决这一难题。
一直到19世纪初期，人们才发现欧氏几何学建立在平直空间的基石假设之上。发现并打破这种第一性原理，实现了几何学破界创新的有两个人，他们分别是沙皇俄国时期的数学家尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolas Lvanovich Lobachevsky）和德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）。他们发现了两种非平直空间，然后以非平直空间为基石假设，将几何学推进至新的发展阶段，后世将罗巴切夫斯基创造的“双曲几何”与黎曼创造的“椭圆几何”合称为“非欧几何”。
如今，平面几何与空间几何的概念早已深入人心，并且在我们学习几何学的时候，老师就告诉了我们欧氏几何中的第五公设在非平面的空间内是不成立的。但在欧氏几何时代，提出非平直空间的假设，去质疑一门成熟学科的基础假设，并不是一件简单的事情。
实际上，罗巴切夫斯基与黎曼开创非欧几何的过程，应用的就是破界创新的方法。首先，他们发现了欧氏几何的第一性原理，即平直空间的隐含假设；然后，他们从逻辑的角度构想出一个非平直的空间，推翻了欧氏几何的系统；最后，在非平直空间的基石假设上，他们以逻辑思考的方式开创了各自的新系统。
在几何学破界创新的过程中，最困难的环节就是提出一个非平直的空间概念。因为我们生活在一个三维世界中，所以人类的大脑也习惯于以三维模型的方式去认知事物，也就是说，我们可以想象出一条弯曲的线或者一个弯曲的平面，但很难想象出一个四维环境中弯曲的空间。
比如，对于我们来说，在一张纸上画一条曲线非常简单，将这张纸弯曲，使它变成一个曲面也很容易，但如果想象自己是一只蚂蚁（假设蚂蚁是一个二维动物），蚂蚁是永远不知道这张纸是弯的。
当然，非欧几何在刚刚问世时，也只是一种逻辑上成立的假设，直到爱因斯坦在广义相对论中提出四维空间是一个弯曲的时空场，并用黎曼几何对这种情况进行了表达，非欧几何才真正从科学的维度被承认。至此，人们对于空间的认知也上升到了新的层次，开始认同我们生活的空间是四维时空。
除了几何学，天文学的发展也堪称破界创新的典型范式。纵观天文学的发展历程，我们可以用3个著名科学家所代表的系统（托勒密天文学、哥白尼天文学以及开普勒天文学）来概括天文学的3个发展阶段。
托勒密天文学的基石假设来自古希腊亚里士多德的哲学，他认为地球是宇宙的中心，始终保持静止不动，太阳和其他行星都围绕着地球做匀速圆周运动。当然，对于科学技术已经足够支撑突破地球的限制，到宇宙中观察天体运动的现代人来说，托勒密天文学无异于无稽之谈，但在当时，受到古希腊文化的影响，人们对天体运动会产生这样的观点并不奇怪。
古希腊人认为整个地球之上的天体，都是由一个完美的元素——以太组成的。这种极其完美的元素一定要按某种圆满的运动方式来运动，而什么样的运动方式是圆满的呢？答案就是匀速圆周运动。同时，古希腊人认为，地外天体是天神居住的地方，而天神是完美的代名词，所以从神学的角度，又证明了天体匀速圆周运动的观点。
从公元2世纪到公元16世纪，托勒密天文学一直被各国科学家沿用。但是，随着人们发现的地外天体越来越多，很多行星的运动已经无法用圆周运动原理解释，于是主流科学家开始在地球以外设置一些额外的天体运动中心，即行星围绕某个中心进行匀速圆周运动，而这些中心天体围绕地球进行匀速圆周运动。就这样不断地增加内容，托勒密天文学得以继续发展，直到哥白尼的出现。
在我们的印象中，哥白尼是一位天文学家，实际上，他还是举世公认的四大科学巨匠之一。尽管他本人没有明确提出什么新思想，但是他的新宇宙观引导了天文学的革命。
为什么说哥白尼引导了天文学的革命呢？他是不是发现了一个新的逻辑？其实并不是，实际上，哥白尼引导的天文学革命起始于他发现了旧系统的逻辑失洽。
当时在西方国家，天文历法是以托勒密天文学为基础设计的，随着系统的失准，问题出现，当时的教皇为了捍卫托勒密天文学的正统地位，甚至将一年中的10天直接从历法中抹去。在教会的威严下，这种情况又延续了很多年，导致天文历法越来越复杂。而哥白尼就生活在那样的时代，所以他提出日心说，并不是因为他发现了某种新逻辑，而是他想改变当时已经失去效力的天文历法。
但是，哥白尼的日心说也并不是正确的基石假设，因为随着科技的发展，人类发现宇宙的范围杳无边际，不只是地球和太阳不是宇宙的中心，就连太阳系、银河系也只是宇宙渺小的组成部分而已。
王东岳老师说过这样一句话：“我们不是生活在客观世界中，而是生活在思想家为我们打造的思想世界中。”在哥白尼之前，人们生活在托勒密的世界里；在哥白尼之后，人们生活在一个新的世界里，虽然这个世界的基石假设并不正确，但相比于之前，在这个新世界中，人类的生存空间变得更广阔了。
所以哥白尼的错误不那么重要，他开启了一个新的范式叫作“日心说”，我们称之为革命，而这场革命给后来的天文学家打开了一道新的门。
美国科学史家托马斯·塞缪尔·库恩（Thomas Samual Kuhn）在自己的著作《科学革命的结构》中写道：“不知道为什么，5年以后，哥白尼天文学这个理论自己开花结果了，它会长出新的理论。”哥白尼最大的贡献不在于理论本身，而在于思想的开拓，实际上他提出的天体运动模型并不比托勒密的简单多少，因为他继承了托勒密天文学中的天体做匀速圆周运动的基石假设。
而真正解决这个问题的人是德国杰出的天文学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler），库恩所说的在哥白尼天文学的基础上长出来的新理论，其中就包括开普勒的天文学体系。
开普勒小时候听过一位神父讲解哥白尼的天文学说，给他留下了深刻的印象。开普勒长大后为丹麦天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）做助手，第谷去世时将自己的天文学资料留给了开普勒。开普勒用第谷的资料，结合哥白尼的日心说模型，同时放弃了天体做匀速圆周运动这个假设，构建了更简洁的天体运动系统。
实际上，开普勒构建的系统无比接近于现在太阳系中行星运动的系统。换句话说，开普勒天文学打破了哥白尼天文学的边界，在新的基石假设上搭建了正确的系统。
我们列举了几个科学界通过打破固有边界，推动科学进步的例子。《科学革命的结构》一书清晰地阐明：“第一个普遍接受的范式”是学科形成的标志，如同牛顿力学之于物理学。在一般人的心目中，新发现是科学的标志。但几乎所有真正的科学革命，都不是新发现的革命，所有重大科学革命都是由范式转换引发的。
那么，为什么一定要“革命”才能取得科学进步？传统认为科学进步的标志是“逐渐逼近真理”，后出现的科学一定比之前的科学更好，更接近真理。但库恩认为，科学革命的进化过程不朝向任何目标，而且前后代科学家之间不但不是继承，而是革命。试图调整旧范式而发展，不但事实上很少，而且原则上不可能。只有破坏旧范式才能得到新发现，这是唯一可行的办法。
所以，我们只有在认识到牛顿理论是错的以后，才能接受爱因斯坦的理论。时间、空间、质量、引力等概念在牛顿和爱因斯坦体系中是完全不同的定义。必须改变已经确立且为大家所熟悉的概念的含义，这正是爱因斯坦理论的革命性影响的核心。
