欧氏几何：人类思维的奇迹
“公理化方法”最早是作为一种数学方法出现在欧几里得（Euclid）的《几何原本》中，实际上，这并不是欧几里得的本意。
说到欧几里得，大多数人的第一反应是他是一位数学家或者几何学家，其实这是我们对欧几里得最大的误解。实际上，欧几里得最重要的身份是哲学家，他之所以会开创“几何”这门学科，也是为了创造一种哲学思考的工具帮助自己更加深入地研究哲学。
作为一位哲学家，欧几里得最早提出了公理化思维，他在《几何原本》中运用形式逻辑的方式，建立了一套从公理、定义出发论证命题得到定理的几何学论证方法，从而形成了一个严密的逻辑体系——几何学。
说到这里，我们需要先解释一下公设和公理的区别，因为在近代之后的数学学科中，对于公设和公理不再明确区分，而是全部默认为公理。实际上，欧几里得在开创几何这门学科时，对作为基石假设的公设和公理是区分设置的。其中，公设有5条。
欧几里得几何学的5条公设[1]：
1.由任意一点到另外任意一点可以画直线。
2.一条有限直线可以继续延长。
3.以任意点为中心及任意的距离[2]可以画圆。
4.凡直角都彼此相等。
5.平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经过无限延长后在这一侧相交。[3]
同时，公理也有5条[4]：
1.等于同量的量彼此相等。
2.等量加等量，其和仍相等。
3.等量减等量，其差仍相等。
4.彼此能够重合的物体是全等的。
5.整体大于部分。
虽然我们现在将公设和公理归纳为同一类事物，事实上，欧几里得认为“公理本身是自明的，公设没有公理那样自明，但也是不加证明而承认其真实性的”。所以，他才提出“公理适合于一切科学，公设是几何所特有的”这种说法。
在欧几里得的几何系统中，公设和公理是无法通过既有的知识证明的，我们只能默认它们是不证自明的第一性原理。比如，欧氏几何的第一公设“由任意一点到另外任意一点可以画直线”，以及第一公理“等于同量的量彼此相等”，这些都是正确的“废话”。作为几何系统的元起点，现阶段我们几乎不可能从逻辑的角度去证明这些公设和公理的正确性，所以只能默认这些公设和公理是必然正确的。
此外，除了5个公设和5个公理，欧氏几何中还包括23个定义，诸如点、线、面的基础定义。5个公设、5个公理，再加上23个定义，欧几里得通过演绎法的推导，一共推出了48条定理和467个命题，而这些内容最终构成了平面几何系统，并且一直沿用至今。
从被欧几里得创造出来到今天，平面几何系统已经被应用了两千多年，在这个过程中，科学家和数学家一直想要完善这个系统。最终人们发现，在平面和三维空间中，这个系统貌似已经饱和，已经穷尽了平面几何这个维度的所有内容。
所以，迄今为止，我们使用的依然是当初的欧氏几何，而同时期，古希腊学者在科学上探索得出的结论，后来几乎都被证明是错误的。从这个角度讲，欧氏几何堪称人类思维的奇迹。
一切学问都是证明系统
德国的思想家、哲学家弗里德里希·恩格斯（Friedrich Engels）说过，“数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定”。换句话说，数学这门学科是在公理的基础上，通过逻辑推导而得到的，比如欧氏几何。
如果我们把欧几里得在5个公设、5个公理和23个定义的基础上推导得到平面几何系统的过程进一步拆解，就会发现，从基石假设推导出完整系统的过程中还存在一个重要的环节——逻辑的推导。
古希腊的哲学家认为，在理性系统中，只有推导出某种事物的逻辑为真，这个事物才是真实存在的。实际上，逻辑推导的过程就是用基石假设去证明某些命题准确性的过程。也就是说，所有学科实际上都是一个证明系统。关于这一点，我觉得王东岳老师有一句话总结得非常到位，他说：“一切学问都是证明系统，但凡没有证明的东西都是虚假的东西。”
正是因为一切学问都是证明系统，所以在一些理性学科中，我们会发现，人们对逻辑推导过程的重视甚至超过了对最终结果的重视。
比如，我们在中学阶段都见过一种几何问题，大致的意思是：给定一条线段AB，然后要求在线段AB上画出一个等边三角形。这个问题并不难解决，只要给我们一个圆规就可以。首先，以AB为半径，以A为中心，画一个圆；然后以B为中心，以BA为半径，再画一个圆。两个圆相交两点，取其中一点（C点），连接A、B、C 3个点就画出了一个等边三角形（见图2-1）。
图2-1 给定一条线段AB，画出一个等边三角形的解题思路
虽然大多数人都了解这个操作方法，也可以用其他方法画出这个等边三角形，但是，当这种类型的试题出现在试卷上时，答题的要求不会只让我们画出这个等边三角形，同时还会要求写出推导过程。
我们常说“微言大义”这个词，意思是说用一句简练的话表达深刻的道理。但是在哲学语境中，我们强调的是假设与证明，即便是一句极度简练的话，我们也必须经过逻辑推理证明其有效性，否则就不是微言大义，而是虚假命题。
再回到我们之前讲的一句话，亚里士多德以一己之力建立了逻辑学，他认为逻辑的第一根本特征叫作“必然的导出”。从命题1到命题2中间推导的过程，叫作“逻辑”。而一个理性系统，同样是从第一性原理通过逻辑推导的方式找到其他有效命题，从而构架出整个完整的系统。所以，系统中的证明都是逻辑证明。关于前面这个几何问题，推导过程应该是这样的：
1.以A为中心，且以AB为半径画圆BCD。（公设3）
2.以B为中心，以BA为距离画圆ACE。（公设3）
3.由两个圆的交点C到A、B连接CA、CB。（公设1）
4.因为，点A是圆CBD的圆心，AC等于AB。（定义15）[5]
5.点B是圆CAE的圆心，BC等于BA。（定义15）
6.因为AC等于AB，BA等于BC，所以AC也等于BC。（公理1）
7.3条线段AC、AB、BC彼此相等。所以△ABC是等边三角形，即在已知有限线段AB上画出了这个三角形。
对于这种问题，很多学生并不理解其中的深意。通常，我们认为知识是要为实践服务的，只要找到问题的答案即可，推导或者执行方法的过程并不重要。我记得我的女儿在美国念初中的时候，回家之后就会抱怨数学老师过分地追求逻辑的完整性，明明非常简单就可以找到问题的答案，却要求她写出复杂的推导过程，缺少了任何步骤都会扣分。
其实老师的做法是完全正确的，逻辑上正确才是我们应用知识的重点环节。面对一些简单题目时，我们可以用小聪明，从第一步直接跨越到最终的结果；但遇到特别复杂的命题时，小聪明就变得毫无意义，只有一步步地推导和证明，才能以正确的过程引导出正确的结果。只有这样，我们才能打破思维模式的禁锢，用逻辑找到超出我们认知极限问题的答案。在推导的过程中，想要保证每一个步骤的正确性，我们必须找到相应的公理予以支撑。
实际上，欧氏几何是一种纯逻辑的知识，在现实生活中，我们根本不可能找到欧氏几何立足的根基。比如说，欧几里得定义的点是没有长度和宽度的；线是只有长度、没有宽度的；而面是有长度、宽度，但没有厚度的，这些情况在现实当中根本不具备存在的可能性。换句话说，从本质上讲，欧氏几何是一种逻辑实体。所以解几何数学题并不重要，解题的每一个步骤，必须有公理作为支撑的思维方式才是最重要的。
欧几里得列出的这些最基础的公理，并非他的原创。欧几里得对人类科学发展的贡献不仅在于建立几何学，更重要的是他首创了一种演绎法思维方式：从为数不多的公理出发，推导出所有定理和命题，从而构建了整个平面几何体系。这种基于演绎法的公理化思维方式，才是欧几里得留给后世的巨大财富，是人类思维的神迹。
从《几何原本》到公理化思维
我相信很多人并不了解欧几里得的伟大，或许还会有人不认同我对他的高度赞誉，因为在我们的生活中，欧氏几何只是用来解决一些平面几何问题的简单学问。但从哲学的角度来讲，欧几里得开创的几何学系统为我们的思维超越现实世界创造了可能性。
毫不夸张地讲，如果没有欧几里得在几何学中提出的公理化思维和方法，科学的发展只能停留在用已知去推导已知的层面，而欧几里得用现实世界不存在的点、线、面及其关系，超越感官对我们的禁闭，从已知推出未知。我们都知道，人类社会之所以能够快速地发展到今天，依靠的就是从已知推导未知的能力。
比如在爱因斯坦的广义相对论中有一个奇怪的假设：这个空间是四维的，并且是可以弯曲的。但这是人类思维能想象出来的吗？答案是完全不能。人类可以轻松地想象出存在于二维空间的弯曲的线，可以在大脑中构建出存在于三维空间的弯曲平面，但大多数人无法在大脑中形成一个对弯曲空间的认知，因为我们生活在三维空间中，所以我们的眼睛能看到的极限、大脑能认知的极限就是三维层次。就像二维虫无法想象我们的三维世界一样，这就是所谓的感觉通道禁闭。
到目前为止，虽然人类的科技水平还没有达到可以验证空间是否可以弯曲的层次，但在科学界，爱因斯坦的广义相对论依然被很多理论物理学家作为公理使用。因为从逻辑的角度来说，在第一性原理和推导过程都确保正确的前提下，最终得到的结果必然也是正确的。换句话说，人类只能理解四维空间，但无法存在于四维空间。
从已知推导未知，这就是数学和几何学被称为神性学问的深层原因。公理化思维可以超越感官对我们的禁闭，以逻辑推理的方式推导出全新的世界。也就是说，如果你不了解几何学，没有数学思维，甚至缺乏纯粹逻辑的思维，你只能活在你眼前可见的这个世界中。但这个世界太狭小了，无论是个人的发展还是人类的进步，我们都需要不断地打破物质的限制，从不可知的未来中找到前行的道路。从本质上讲，几何学是一种哲学，同时也包含了某种世界观。
曾经有一个年轻人想要跟随欧几里得学习知识，他向欧几里得提出了一个问题：“学习几何到底有什么用处？”
这个问题就是典型的东方思维模式，重视实用性，想要学以致用，知行合一。欧几里得在听到这个问题后勃然大怒，并说道：“你居然想过来跟我学有用的东西，这是对我的侮辱。你可以去跟工匠学有用的东西，你怎么能跟我学有用的东西呢？”
我们刚刚开始接触和学习几何的时候，老师告诉我们几何学的起源是，在古埃及，因为地理环境的影响，洪水经常泛滥。每一次洪水泛滥都会导致河流周边地形的变化，而当时的农业又集中在河流两侧的平原地带。所以在洪水过后，人们常常要重新丈量田地，久而久之就积累了一些丈量的经验，而这些经验结合在一起最终形成了几何学。之所以会出现这种认知，是因为受到了实用主义的影响。
事实上，几何学并不是从盖房子、丈量田地这些实践经验中抽离出来、总结而成的，而是欧几里得通过纯逻辑的想象构建出来的。正因为如此，在几何学创立之初，欧几里得根本不想通过这种知识解决任何实用的问题。
传说中，柏拉图学园的门口有一块牌子，上面写着“不懂几何学者不得入内”。意思是说，如果你没有经过几何学的熏陶，你连讨论顶级问题的思维方式都不具备。如果你没有学习几何学背后的这种公理化思维，你根本无法进入哲学和科学最顶尖的殿堂。
什么叫知音？大多数人认为，所谓“知音”，就是对某一个事物与自己观点一致的人。在我看来，观点一致这件事情一点都不重要。假如一个人能够非常轻易地与你观点一致，将来他还可以同样轻易地与你观点不一致。
从公理化思维的角度来看，真正的“知音”不是观点相同，而是思考方式（逻辑）相同的人。因为只有逻辑一致的人，才有可能从同一个基石假设推导出同一个结果。所以柏拉图认为，没有受过几何学训练的人，不适合参与到哲学和科学的讨论中来，即便参与讨论也只会导致争吵。
