在前文中，我曾简要地指出传统经济学的一个预测是，股价应该遵循随机游走模式。这就好比你将笔放在一张纸上，然后从左向右拉笔，在这样做的同时，你还要以随机增量向上或向下移动笔。你也可以想象一个喝醉酒的人在大街上蹒跚而行的情形。图8-3引自耶鲁大学数学家贝努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）的著作。其中一个是IBM公司股票在1959年到1996年间的价格（以对数标度绘制），另一个是随机游走数据的样本（这个随机游走有增长的趋势）。这些图看起来非常相似，如果没有标记，你很难猜出哪个图是IBM公司的股票价格，哪个是随机游走的数据样本。从中不难看出为什么随机游走在100多年来一直是金融理论的核心部分。
图8-3 IBM公司的股票价格与随机游走数据的样本
资料来源：曼德尔布罗特（1997年）。
在不考虑绝对价格水平的情况下，让我们先来看看股票价格在每一天的涨跌幅度，如图8-4所示。这两个图看起来差别很明显，上面的图非常尖锐，价格波动较大的时期和价格波动较小的时期在时间上是重合的。而下面的图形比较模糊，随着时间的推移，大的移动和小的移动随机混合在一起。从这个角度来看，IBM公司的数据显然不太像模糊的随机游走的数据。正如在第3章中提到的，几位研究人员已经在统计上证明股票并不遵循随机游走规则。IBM公司股票价格变动的块状模式表明，价格的波动性与时间是相关的，这也是我们在上一节讨论的间断均衡的风暴-平静-风暴模式。除此之外，你可能还会注意到一些别的东西，比如随机游走数据图中存在一些较大的价格波动，但没有一次价格波动是真正明显突出的。真实的股票价格数据中往往有几个点要么在上面飙升，要么远远低于其他样本，那么是什么导致了如此剧烈的价格波动呢？
图8-4 股票价格变化图
资料来源：曼德尔布罗特（1997年）。
传统经济学告诉我们，每当有重大消息冲击市场时，股价就会波动。传统理论的预测之一就是，大幅的价格波动应与重大的突发新闻或消息相对应。大卫·卡特勒（David Cutler）、詹姆斯·波特巴（James Poterba）和拉里·萨默斯在1989年进行的一项研究中验证了这一预测。40他们观察了1941年至1987年间美国股市的大幅波动，然后浏览了当时的报纸来确定与这些波动相对应的新闻。结果表明，通常情况下，发生严重崩盘的日子里并没什么大新闻可说。如前所述，《纽约时报》对1987年10月19日标准普尔500指数下跌20%的解释是“对美元下跌和贸易赤字的担忧”。1946年9月3日是另一次大崩盘的日子，当时媒体的头条新闻是“价格攻击没有根本原因”。卡特勒和他的同事们研究了当时最大的新闻事件，并测量了当时的市场走势。例如，当日本轰炸珍珠港时，当时的股票市场只下跌了4.4%；当古巴导弹危机得到和平解决后，股票市场只上涨了2.2%。为什么市场上有这么多与新闻无关的剧烈波动？这个谜题的答案存在于一项有趣的观察中：股价走势看上去不太像随机游走，而像另一种现象：地震。
20世纪50年代，来自加州理工学院的两名地球物理学家贝诺·谷登堡（Beno Gutenberg）和查尔斯·克里特（Charles Richter）走进加州理工学院的图书馆，发掘描述地震的资料。41他们感兴趣的是每种不同强度的地震发生了多少次。例如，强烈地震是常见的还是罕见的？2级地震发生的可能性是4级地震的两倍吗？他们将数据分成若干个等级，一个等级为2.0～2.5，下一个等级为2.5～3.0，以此类推。然后他们绘制了数据的分布曲线，类似于糖域模型中的收入数据图。
最著名的数据分布图是钟形曲线，又叫正态分布或高斯分布，弗里德里克·高斯（Karl Friedrich Gauss）在19世纪发现了这种分布。如果我们收集一个群体中女性的身高数据，为每一个身高范围创建一个等级（例如130cm～135cm，135cm～140cm，等等），并计算不同身高的女性出现的次数，我们就会得到一个平滑的钟形曲线。曲线中间的驼峰表明一个典型的女性身高在150cm～175cm之间，而两端则表明很少有非常矮的女性或非常高的女性。
对于地震，人们可能会期望它的等级分布看起来类似于上面的女性身高分布图。我们可以假设地震有一个典型的级别，大多数地震都在这个范围内，很少有小地震或大地震。但是当谷登堡和克里特把找到的数据绘制成图表时，他们发现了一些完全不同的东西。为了使结果更容易看清楚，他们在两个坐标轴上用对数比例尺绘制了数据图，而双对数图上的数据结果几乎是一条直线（见图8-5）。双对数尺度上的这条直线意味着，对于地震分布来说，它的中间没有类似身高分布的“典型”大小。确切地说，地震的震级多有不同，但是震级越高，就越罕见。具体来说，地震能量每增加一倍，相应震级的地震发生的概率就会降低3/4倍，最终人们得到了一个从小规模地震到大规模地震分布的滑坡曲线。物理学家称这种关系为幂律，因为这种分布是用指数方程或幂来描述的。
图8-5 地震震级的幂律分布
资料来源：数据来自南加州地震中心，图来自布坎南（Buchanan，2000年）。
人们在各种各样的现象中发现了幂律，包括生物灭绝事件的规模、太阳耀斑的强度、城市规模的排序、交通堵塞、棉花价格、战争死亡人数，甚至社交网络中性伴侣的分布。43幂律和振荡、间断均衡一样，是复杂适应系统的另一个特征。
地震并不是第一个被发现的幂律现象，第一个幂律现象是在1895年由帕累托在经济学中发现的，尽管当时它还没有被认为是幂律。44帕累托经过对人们收入的研究发现，很多人都是穷人，中产阶级的范围很广，而只有极少数人是超级富豪。人们的收入每增加1%，相应的家庭数量就会减少1.5%——在双对数图上表现出来是一条直线，即幂律。帕累托没有数学工具来充分理解其发现的重要性。4520世纪60年代，当贝努瓦·曼德尔布罗特对芝加哥商品交易所棉花价格的波动感兴趣时，幂律在经济学中重新出现了。曼德尔布罗特在绘制数据图表时很快注意到，就像IBM公司股票价格一样，棉花价格的波动性比传统理论预测的要大得多。此外，他还注意到波动似乎没有自然的时间尺度。如果他从图上取一小部分，比如一个小时，再把它拉长到一天的长度，人们根本无法分辨出哪个图代表的是一个小时的数据，哪个是一天的数据。曼德尔布罗特查看了包括黄金和小麦在内的其他商品的数据，也发现了同样的模式——幂律。46曼德尔布罗特第一次发现这个理论时，他的工作在很大程度上被经济学家忽略了，一部分的原因是他是一位来自该领域之外的数学家，另一部分的原因是数据与传统理论不相符。
在20世纪80年代和90年代之前，幂律基本上没有得到人们的重视，直到有关经济是一种复杂适应系统的观点被重视才引发了人们对幂律的兴趣。物理学家在分析自然系统的幂律方面经验丰富，一些“经济物理学家”开始研究股市的数据。其中，波士顿大学的吉恩·斯坦利（Gene Stanley）计算出，如果股市像传统经济学假设的那样遵循随机游走规则，那么1987年的黑色星期一发生崩盘的概率是10-148%。宇宙中已知最小的测量单位是普朗克长度，是10-33厘米，在我们的想象中，市场不太可能只是随机地陷入如此严重的崩盘状态。高斯分布、随机游走的波动几乎从来没有超过5个标准差，然而，在真实的经济数据中，比如股市崩盘，5个甚至更大的标准差事件确实会发生。
为了弄清楚究竟发生了什么，在1994到1995年中，斯坦利和他的团队针对美国最大的1 000家公司每隔5分钟进行一次股票市场交易数据的取样，共获取了4 000万个数据点。经过分析发现，股票价格的波动在分布的尾部遵循明显的幂律。为了确认这一点，他们还研究了1961年至1996年35年间6 000支美国股票的3 000万份日交易记录，这些记录再次形成了幂律。在传统的经济学家看来，或许斯坦利研究的5分钟内的数据是非高斯分布的，但在更长的时间内，数据仍应该是呈高斯分布的。斯坦利还将他的时间周期改变了三个数量级，从5分钟到6 240分钟（16天——除此之外，很难有足够的数据得出有力的结论）。这些数据看起来确实比短周期的数据更接近高斯分布，但是它仍然遵循幂律。
这一结论的后果之一就是，金融市场的波动性远高于传统经济学让我们相信的水平。如果市场遵循幂律，那么黑色星期一事件发生的概率更接近10-5（这意味着在每100年里都有可能发生一次），而不是10-148，这是一个巨大的差异，显然对投资者如何思考和管理风险有重大影响。其他的经济数据也显示出让人吃惊的、清晰的幂律规则。罗伯特·阿克斯特尔利用1997年的美国人口普查数据，对所有拥有一名或多名员工的550万家公司进行了分析，结果显示，以员工数量来衡量的公司规模也符合幂律分布。49斯坦利和他的团队发现，公司的销售业绩增长以及国家的GDP增长同样遵循幂律。50我们将在后面的章节中探讨这些发现的含义。
