3. 数量级、对数、地震和里氏震级
我们刚刚已经看到，如果一个物体的边长增长至原来的10倍，且保持形状或构成成分不变，它的面积（及强度）就会增长至原来的100倍，它的体积（及重量）就会增长至原来的1000倍。与之相类似的连续的10次幂被称作数量级，通常以简化的101 、102 、103等来表示。其中，10的右上角的小数字又被称作指数，它代表1后面所跟的0的个数。因此，106是1000 000的简写，或称6个数量级，因为它是1后面跟了6个0。
按照这一语言表达方式，伽利略的理论成果可以这样表述：如果长度每增长至原来的1个数量级的倍数，面积和强度就增长至原来的2个数量级的倍数，体积和重量就增长至原来的3个数量级的倍数。据此我们也可以得出，如果面积每增长至原来的1个数量级的倍数，体积就增长至原来的3/2（即1.5）个数量级的倍数。强度和重量之间也有类似的关系：如果强度每增长至原来的1个数量级的倍数，其可以支撑的重量就增长至原来的1.5个数量级的倍数。相反，重量每增长至原来的1个数量级的倍数，强度只会增长至原来的2/3个数量级的倍数。这便是非线性关系的基本表现形式。线性关系则意味着，面积每增长至原来的1个数量级的倍数，体积也会增长至原来的1个数量级的倍数。
尽管我们许多人并不知道，但通过媒体对地震的报道，我们所有人都会接触到数量级的概念，包括分数数量级。我们经常听到有如“洛杉矶今天发生中等规模地震，震级为里氏5.7级，许多建筑物都有震感，但只造成非常小的破坏”的新闻报道。我们偶尔还会听到类似1994年的洛杉矶北岭地震的地震新闻，只大了1个单位的里氏震级，却造成了巨大的破坏。
震级为里氏6.7级的北岭地震造成了超过200亿美元的损失，60人死亡，它也因此成为美国历史上造成损失最大的一次自然灾害，而一场里氏5.7级的地震所造成的损失几乎可以忽略不计。尽管震级只有小幅增长，但造成了截然不同的影响，因为里氏震级是以数量级来定义地震规模的。
由此一来，增长1个单位意味着增长至原来的1个数量级的倍数。因此，一场里氏6.7级地震的规模实际上是里氏5.7级地震规模的10倍。同样，一场里氏7.7级的地震，如2010年发生在印度尼西亚苏门答腊的地震，其规模是北岭地震的10倍，也是里氏5.7级地震的100倍。
苏门答腊地震发生地的人口相对较少，但仍然因引发海啸而造成了大面积的破坏，两万人被迫迁徙，近500人遇难。可悲的是，2005年，苏门答腊曾遭遇另一场更具破坏性的地震的袭击，其震级达到了里氏8.7级，规模也因此是2010年该地区地震的10倍。很明显，除了规模以外，一场地震所引发的破坏在很大程度上也取决于当地的条件，如人口规模和密度、建筑物强度和基础设施等。虽然1994年北岭地震及最近的2011年日本福岛地震的震级分别只有里氏6.7级和里氏6.6级，但均造成了巨大的破坏。
里氏震级其实测量的是地震在地震仪上所记录下的地震波幅度。其相应释放能量的数量则与这一地震波幅度呈非线性比例关系，所测量到的地震波幅度每增长至原来的1个数量级的倍数，其所释放的能量便增长至原来的1.5个数量级的倍数。这意味着地震波幅度上2个数量级的区别，即2个里氏震级的差别，相当于释放能量3个数量级的差别，而1个地震波幅度数量级的差别则相当于释放能量差别了1 000的平方根，即31.6。［4］
为了了解地震所带来的巨大能量，请阅读下列数字：引爆1磅（或0.5千克）TNT（梯恩梯）炸药所释放的能量大致相当于里氏1级地震所释放的能量；里氏3级地震所释放的能量则相当于约1 000磅（或约500千克）TNT炸药爆炸所释放的能量，规模差不多相当于1995年俄克拉何马城爆炸释放的能量；里氏5.7级地震相当于5 000吨TNT炸药；里氏6.7级地震（北岭地震和福岛地震）相当于17万吨TNT炸药；里氏7.7级地震（2010年苏门答腊地震）相当于约540万吨TNT炸药；里氏8.7级地震（2005年苏门答腊地震）相当于1.7亿吨TNT炸药。迄今有记录的震级最大的一次地震是1960年的智利瓦尔迪维亚大地震，震级达到了里氏9.5级，相当于23亿吨TNT炸药爆炸释放的能量，几乎是北岭地震或福岛地震的1 000倍。
如果做一对比，1945年被投到广岛的原子弹（“小男孩”）释放的能量相当于大约1.5万吨TNT炸药爆炸释放的能量。一颗氢弹所释放的能量通常为原子弹的1 000倍，等同于里氏8级地震。如果你意识到1.7亿吨TNT炸药爆炸，即2005年苏门答腊地震的规模，能够为拥有1500万人口的城市（相当于整个纽约都会区）提供一整年的燃料，你就知道这些是多么巨大的能量了。
我们没有按照1倍、2倍、3倍、4倍、5倍……这样线性增长，而是以10的倍数增长，就像里氏震级一样：101 倍、102 倍、103 倍、104 倍、105 倍……这样的比例被称作对数。请注意，数量级的数字其实呈线性增长，就像10的右上角的指数那样。对数刻度允许人们在绘图时将差别巨大的数量标注在同一条轴上，如瓦尔迪维亚大地震、北岭地震和一管炸药之间的量级便覆盖了10亿（109 ）的范围，如果使用线性作图的办法，就不可能实现，因为几乎所有事件都将会堆积在图的下部。为了将可能相差5~6个数量级的所有震级的地震囊括在一张线性标绘的图上，可能需要一张长达数英里的纸，因此人们才发明了里氏震级。
因为它能够方便地使相差幅度很大的数量都在一张纸的一条线上体现出来，对数技巧在所有科学领域都被广泛使用。恒星的亮度、化学溶液的酸度（pH值）、动物的生理特点、国家的GDP都是广泛使用这一技巧覆盖所有数量变化范围的例子。第1章中的图1–1~图1–4也是用对数技巧绘制的。
