学着探索数学概念：专业问题
虽然，要消化数学概念需要一定时间，但还是有那么一些办法能够帮你加快这个过程。你解决的问题越多，你对相应内容的理解也就越透彻。但是一遍遍地解决问题，并不是建立理解的有效方式，这跟文章的理解一样。
必须说明的是，下面这些问题能够引导你去解决问题，而不是手把手地教你如何在考试中解答实际的问题。至于考试中实际问题的解答，你可以用另外一套不同的专业问题来解决。
当你在解决问题，或者是在学习一个新的数学概念时，以下这些专业问题是你需要思考的：
● 如果是我，我猜想的答案会是什么？
● 这个解答方式中每一个步骤具体为了达到什么目的？
● 这里的模式是什么？
● 如果这里改变的话，有什么是需要跟着改变的？
● 在极端条件下，会发生什么？
● 这个结论可以进一步推广吗？
● 有哪些“特例”？
● 这个问题可以换个问法吗？
● 这个问题的本质特征是什么？
● 这个问题让我联想到了哪些其他类型的问题和技巧？
● 我能用几种不同的方式来解答这个问题？
● 我知不知道这个公式是怎么来的？
● 我如何让这个概念更具体一些？
我们将利用以上问题，来学习下面这两篇文章，这两篇文章都是从教科书中节选出来的，一篇是代数学，而另一篇是几何学。首先，请你按照你惯常的方式，将这两篇文章读一遍：
数学的学习往往是在失望中开始的。
——阿尔弗雷德·诺尔司·怀特海
如果是我，我猜想的答案会是什么
在面对数学问题的时候，大部分学生都会尝试用有逻辑的方式去获得结果，但任何问题的解答，都应该从猜测结果开始。按照常识，这个答案应该是怎样的？你能够做出怎样的估计？
之前在说到阅读的时候，我说过，你可以在阅读作者提供的答案之前，试着自己去回答你提出的问题，这跟我们现在所说的这一步很相似。可惜的是，猜想这种行为在学校里并没有获得认可。猜想其实是一种非常复杂的艺术，人们都以为猜想是为了逃避思考，但事实恰恰相反。所有的思考都是为了得到更好的猜想。
接下来，让我们来看看代数中第二个例子，一起来猜想一下结果。如果布伦达独自一人完成任务需要3个小时，那么我们就可以猜想到，当比尔与布伦达一起工作的时候，所需要的时间一定少于3个小时。现在，让我们假设有两个布伦达、两个布伦达一起工作的话，工作效率会比一个人工作快一倍，要完成任务，所需要的时间也就是原来的一半：1.5个小时。因为比尔工作效率比布伦达慢，所以答案应该比1.5个小时长一些；同理，如果两个比尔一起工作的话，他们所需要的时间是3个小时，所以答案也应该比3个小时短。
通过猜想，你可以检查自己的答案是否合理。有一些学生会利用一个“规则”来“解答”这类问题，根据那个“规则”，布伦达和比尔两个人各自单独所需要时间的平均数（即4.5小时），就是问题的答案。如果他们在盲目相信这个“规则”之前，能够进行一定的猜想的话，他们就可以发现自己的答案远远偏离了正确的答案。
敏锐的猜想、丰富的假设、向实验结论勇敢地跨越——这些是工作中思考者最有价值的资产。
——杰罗姆·西摩·布鲁纳
解答方式中每一个步骤的意义
哪怕你实在想不明白某一个步骤在解答过程中出现的原因，你也要按照步骤进行解答，这很重要。让我们再回到代数的第二个例子，你会注意到以下的步骤：
1. 算出每一个人完成任务所需时间的倒数；
2. 将相应的两个倒数相加；
3. 算出上一步得到的和的倒数。
在你按步骤作答的时候，大声将每一步读出来会对你有帮助——这会是一个很好的方式。目前这个阶段，如果你能够说明每一步具体是在做什么的话，就已经足够了。
这里的模式是什么
在你思考其他问题的同时，你要把这个背景问题始终记在心里。模式其实就是我们之前说过的记忆点之一，更重要的是，数学的目的之一，就是要找出相应的模式。模式通常意味着联系，而且往往能提供公式的线索。
如果这里改变的话，有什么是需要跟着改变的
“如果……”这种问题是我们的老朋友了，让我们带着这个问题一起来看看勾股定理。根据勾股定理，任何直角三角形，以斜边为边长的正方形的面积等于以另外两条直角边为边长的两个正方形面积的和。如果我们把直角变成锐角或者是钝角的话，相对应的正方形面积的关系会是怎样的呢？
在极端条件下，会发生什么
试着尽可能地将某一个改变的程度调整到最大（或者最小），看看有什么情况发生。之前在讨论例2的时候，我试着去想两个布伦达（或两个比尔）一起工作的情况，这就是将改变最大（小）化。两个布伦达一起工作所需要的时间，会是最短的时间，而两个比尔一起工作所需要的时间则是最长的。这些极值假设能够帮你确定答案范围，快速估算答案。
这个结论是否能进一步推广
扩大一个概念或者一个技巧的使用范围，是指看看这个概念或技巧在更大的范围内是否同样适用。例如，当我们需要计算一个长方形的对角线长度的时候，勾股定理同样适用:
长方形是二维平面的，既然如此，勾股定理是否也同样适用于三维立体图形呢？当然，我们可以用勾股定理来计算一个长方体的对角线：
有哪些“特例”
在你学习一个概念或技巧的时候，你经常会遇到一些特殊例子。比如，正方形就是一个特殊的长方形，等腰三角形就是一个特殊的三角形。我们例文中勾股定理那部分就提到了几个这样的特殊例子。这些特殊的例子往往值得你单独记忆。
