现在开始详细考虑多样性视角框架。在这个框架中假设，各种各样的对象、情况、事件或解决方案组成了一个大集合，我们必须把这个集合表示出来。集合可能很大，它可以包含数以亿计的东西，但依然是有限的。6想一想星星、原子，以及所有大大小小的生物，我们面临的挑战是必须要把它们组织起来。为此，每个人都拥有一个用来描述这些对象、情况、事件或解决方案的“内部语言”。这个内部语言的形式可以是文字、数字或符号，也可以是完全抽象的东西。不同于口头语言或书面语言等外部语言，内部语言可以为同一个对象分配不同的词语。
那么，当说不同的人有不同的内部语言时，具体含义究竟是什么呢？为了说明这一点，在这里将认知科学家丹尼尔·丹尼特（Daniel Dennett）举过的一个例子稍稍改写一下。某个人可能会在自己的“内心中”用两条直角边的长度来表示一个直角三角形，而另一个人则可能会在自己的“内心中”用一个锐角及其两条边来表示同一个直角三角形。这两个人在讨论这个直角三角形时，只需要将它画出来就可以了，并不需要在二人的内部语言之间进行翻译。他们所要做的，就是把内部语言转化为现实。7
因此，当遇到某件东西、某个对象或事件时，我们用个人的内部语言来表达。作为类比，可以把产品上的UPC码想象为扫描仪的内部语言，超市里的每一件商品都有唯一的UPC码。这种映射来自现实，并用内部语言来对它进行编码，也就是视角。视角为每个对象都分配一个唯一的名称，数学家把它们称为一对一映射。每个对象、情况、问题或事件都是映射到人内部语言中唯一的词语。
视角（perspectives）
视角是从现实到内部语言的映射，使每一个不同的对象、情况、问题或事件都被映射到一个唯一的词语。8
虽然视角是用内部语言来表示解决方案的，但是从这里开始，视角既指对内部语言的映射，也指其表示本身。这种处理方法将使本书的内容更加容易理解，且相对轻松。当说两个人有不同的视角时，所指的是上述两个方面的其中之一。既可以指这两个人将现实以不同方式映射到相同的内部语言上，也可以指他们将现实映射到不同的内部语言上。无论哪种情况，他们的视角都是不同的，而这正是本书的主要关注点。
大多数人在一生中领会的第一个视角是数学中的“进制”（base）。当说某条公路限速每小时70英里的时候，使用的是十进制。这样说的意思是每小时7个10英里。我的大儿子在上幼儿园，班上的老师也用进制的概念来教他们数学。要计算7+5等于几，老师会让一个孩子左手抓5根吸管，右手抓7根吸管，再让他先数出10根吸管，这10根吸管算一捆，绑在一起；然后将这一捆与剩下的2根吸管放到一起，从而得出“一个由10根吸管组成的捆与两个1根的吸管”或12根吸管的答案。或者，老师也可以采用八进制，要求孩子8根吸管一捆、8根吸管一捆地进行计算，那么上述那个任务就变成“8根吸管组成一捆，然后剩下4根吸管”，所以在采用八进制的时候，其答案等于14。总之，吸管的数量可以根据任何一种进制来重新计算。如果采用四进制，那么答案是30；而如果采用计算机科学家的语言，也就是二进制，那么答案是1100。
虽然通常用十进制来思考问题，但并不是必须这样。十进制只是用来表示数字的多种视角之一。事实上，十进制的使用在历史上也算不上是一种普遍现象。玛雅人使用的是二十进制，这或许是因为他们的“脚趾意识”更高。(2)更令人惊讶的是，有一些文化人类学家报告说，一个前英国殖民地直到今天仍然在使用十六进制，在他们那里，16盎司等于1品脱（约为454千克）。
在学习数学的过程中，第二次碰到不同视角通常是在学习三角学这个几乎所有人都喜欢的学科时。在三角学中，空间中的一个点既可以用笛卡尔坐标表示，也可以用极坐标表示。笛卡尔坐标的形式是熟悉的（x，y）；而在极坐标系中，一个点是通过角度θ以及该点与原点之间的距离（称为半径r）来描述的。图1-6表明，笛卡尔坐标系中的点（x，y）=（2，2），在极坐标系中为（r，θ）=（
，）。
图1-6 笛卡尔坐标（左）和极坐标（右）
当然，笛卡尔坐标和极坐标都是欧几里得空间中点的视角。这两种视角并没有优劣高下之分，尽管有些人声称“极坐标更酷一些”。笛卡尔坐标通过只标记长度和宽度简化了对矩形的描述，而用极坐标描述一个矩形却需要一个计算器、一张干净的草稿纸和一块橡皮。但是，当必须描述圆和弧时，极坐标就显示出它的威力了。圆是半径为某个固定值的所有点的集合。而要用笛卡尔坐标来描述一个圆，就不得不写出一个x和y的复杂函数来。因此，极坐标中的简单问题在笛卡尔坐标中可能会变得很困难，反之亦然。9在下文中，还会不时返回到这第一个重要结论上来：视角的选择对问题的难易关系重大。
视角通常意味着施加了某种结构。例如，如果我们的内部语言对数字进行了分配，也就创建了一个完整的排序。1是最小的数字，2介于1与3之间……以此类推。完整的甚至部分的排序可以赋予语言强大的力量，它们可以大大简化被识别的问题。10如果一种内部语言不能创造出结构，那么这种语言就与门捷列夫的元素周期表不同，它对于说明某种关系并没有帮助。例如，一个由诸如伊莎贝拉（Isabella）、罗兰（Rdand）、苏珊（Susan）和雨果（Hugo）等特殊名字组成的结构，即便把这些名字按字母顺序排列起来，也不能了解罗兰和苏珊之间的关系。他们可能是夫妻，也可能是父女。这就引出了一个关键结论：不能创造结构的内部语言对于解决或理解问题毫无帮助。要想具备功能性价值，视角必须嵌入有意义的关联，仅仅分配名字是不够的。
