网络是如何变得火爆的
经济学家已经意识到，某些产品，例如电子邮件、传真和电话，拥有一个共同的特征，那就是使用这些产品的人越多，它们的用处也就越大，这被称为网络效应。然而，传统经济学在历史上并没有过多地阐述为何这类产品会在人群中突然火爆并流行开来。
数学生物学家斯图尔特·考夫曼认为厄尔多斯与瑞利所开发的随机图理论中蕴含着上述问题的答案。4请想象1 000枚纽扣散落在硬木地板上。假设你的手里有一些线，你随机拾起两枚纽扣，用线把它们连起来，然后又把它们放回去。在最开始的时候，你拾起的每一枚纽扣大概率都是没有跟别的纽扣连在一起的，就这样，你能让许多纽扣两两相连。随着工作的不断进行，在某个时刻你就会拾到一枚已经与其他纽扣相连的纽扣，然后你会再加上第三枚。最终，没有被连接的纽扣越来越少，一些有四枚纽扣或五枚纽扣的纽扣串开始形成，就像一座座小岛散落在纽扣的海洋里。
接着，随着你不断串联纽扣，孤零零的纽扣串突然开始连成巨大的超级串——两个5枚的串连成一个10枚的串，一个10枚的串加上一个4枚的串成为14枚的串，以此类推。物理学家将系统的某个特征突变称为相变。举例来说，每次将蒸汽的温度降低一度，到达100℃时，蒸汽就会突然变成液体，而到达0℃时会变成冰。在随机网络中，从小型串到巨型串的相变发生在某一具体时刻，即线段（边）与纽扣（节点）的比率值超过1，也就是说平均一条线段对应一枚纽扣。5我们可以认为一条线段对应一个节点的比率是一个“引爆点”，此时，随机的网络突然从稀疏连接变成了密集连接。6
考夫曼认为，网络形成过程中的这个“引爆点”有助于解释生命所需的化学反应网络最初是如何形成的。我们也在经济和科技环境中发现了这种效应，互联网或许就是一个最新案例。互联网是在20世纪60年代由美国发起的一个国防项目中被发明的。它坐了20年的“冷板凳”，当时主要用于学术领域。后来，到了20世纪90年代，互联网的应用突然之间爆发了。有一种合理的解释是这样的：更快、更便宜的调制解调器以及更优的用户界面将人们的社交网络的节点比率值提升至了神奇的1，从而带来了互联网用户的爆发式增长。
随机图理论是一种能让我们用模型表达此类现象的方法，从中还可以看到网络效应并不是平滑和渐进的，而是高度非线性的。通过分析此类网络，我们或许能够更好地理解为何有些时尚能够风靡，某些政治运动是如何在突然之间爆发的，以及是什么导致了股市的波动。
世界很小
1967年，心理学家斯坦利·米尔格拉姆（Stanley Milgram）决定开展一项实验。8他向居住在堪萨斯州和内布拉斯加州的一群人写信，并说明须将这些信转发给居住在波士顿的两位收信人中的其中一位，但他只指明了收信人的姓名、职业、人口统计资料和大致位置。米尔格拉姆指示堪萨斯州和内布拉斯加州的参与者将他们收到的信转发给一位熟人，这人又将信转给自己的一位熟人，直到信到达计划中的收信人手里。如果你是参与者之一，你或许在波士顿不认识什么人，但你将信转给了在美国东海岸上大学的俄亥俄州的表亲，他又将信转给了一位住在波士顿的大学同学，同学又将信转给了一位医生——因为计划中的收件人是一名医生，等等。米尔格拉姆惊讶地发现，大部分信件最终都顺利抵达，并且发信链上涉及人数的中位数是6。这个结果成为“六度分割理论”的基础，该理论的主要内容是指地球上的每个人都可以通过6个人（或更少）联系到任何人。
来自哥伦比亚大学的邓肯·瓦茨（Duncan Watts）(10)与来自康奈尔大学的斯蒂芬·斯托加茨（Steven Strogatz）(11)通过“凯文·贝肯游戏”，提出了更新的、异想天开的“六度原则”。9据瓦茨介绍，这个游戏是由威廉与玛丽学院的一群兄弟会成员发明的，他们都是资深影迷，于是决定让凯文·贝肯成为游戏世界的主角。(12)在游戏中，每个人都可以想象一个随机的演员，然后决定他/她与贝肯电影之间联系最少需要几个步骤。比如，凯文·科斯特纳（Kevin Costner）的贝肯数为1，因为他跟贝肯一起出演了《刺杀肯尼迪》；布鲁斯·威利斯（Bruce Willis）从未与贝肯一起演过电影，但他的贝肯数是2，因为他与帕特里克·麦科马克（J. Patrick McCormack）一起出演了《世界末日》，而麦科马克与贝肯一起出演了《透明人》。通过使用弗吉尼亚大学布雷特·查登（Brett Tjaden）的数据，瓦茨及其同事发现，美国演员的最高贝肯数是4。随后，他们又对互联网电影数据进行了彻底的研究，发现世界上大约57万演员中90%的人与贝肯或多或少都有关系，世界上最大的贝肯数是10，其中85%的人的贝肯数小于等于3。10瓦茨与斯托加茨在其他社交网络中也进行了类似的研究，包括科学家和企业董事会成员，也得到了类似的结果。归根结底，我们只能说这个世界很小。
地球上有70多亿人口，我们怎么可能与其他人之间只隔着6个人呢？数学家或许会指出，如果世界上的每个人平均拥有100位朋友，那么每个人的朋友的朋友的数量就是10 000（100×100）个，朋友的朋友的朋友数量为100万个，以此类推，在第五层，我们就可以连接到10亿人。12但这其中存在两个问题。首先，地球上每人平均的朋友数量为100位，这个估值恐怕是过高的。其次，人们的朋友圈会有相当程度上的重合。也就是说，我的100位朋友与我朋友的朋友并不是完全不同的，因此，所谓的小世界效应必然是由其他原因造成的。
瓦茨和他来自密歇根大学的同事马克·纽曼（Mark Newman，他们都是圣塔菲研究所的成员）给出了一个有趣的答案：小世界效应是由网络本身的结构造成的。瓦茨和纽曼发现，社交网络已经进化成为规律性与随机性的高效混合体。13假设有一张美国地图，我们用小圆点来标记所有人口数量大于10万的城市，用线条把一座城市与距离它最近的四座城市连接起来。比如，波士顿可以跟伍斯特、坎布里奇、普罗维登斯和曼彻斯特连接起来。这样一来，我们就创造了一个栅格网。这样的栅格网或许看起来不如图7-1那样整齐，但“四座距离最近的城市”规则意味着该网络具有规律性和结构。我们可以观察与波士顿相连的城市，并将它们看作一个区域，比如，新英格兰东南区。这种规律性的缺点在于穿越整个网络需要许多跳点。如果我们想把波士顿与圣地亚哥连接起来，就必须将波士顿连到普罗维登斯，再把普罗维登斯连到哈特福德、哈特福德连到纽约市，等等，每次连接都需要穿过整个国家。由于栅格图的分散性很高，所以从一个海岸到另一个海岸或许需要连接多达20或30个点。
现在，将最近城市原则放在一边，我们说每座城市与其他四座城市是随机地连接在一起的，从波士顿开始的跳点或许会经过纽约州的奥尔巴尼、堪萨斯州的托皮卡、佛罗里达州的萨拉索塔以及华盛顿州的斯波坎。有些随机线条肯定很短，例如华盛顿特区与费城之间的线条；有些是中等长度，例如从丹佛到克利夫兰；而其他的则相当长，例如从圣地亚哥到夏洛特。由于连接是随机的，短线、中等线和长线的数量将会相同，这就意味着连接任意两座城市之间的站点会少得多，因为对于任何两座城市而言，我们都可以根据跨度和距离选择较短、中等和较长的站点连接旅途。从栅格图换到随机图，分割度的数量变得屈指可数。
