我们对于经济的第二个观察结果是：它是一个非线性系统。这个术语通常会引起混淆（甚至是在经济学家中）。由于“非线性”的字面意思是“不是直线”，人们有时就会认为它意味着任何能够产生曲线的功能都是非线性的。在静态系统中，这种理解是正确的。方程y=mx+b是线性的，如果用图形来表示，我们就会得到一条直线。另一方面，方程y=x2是非线性的，如果用图像表示，我们就会得到一条指数级曲线。有一个很好的经验法则是说，如果方程的右边全是加、减、乘、除，它就是线性的；如果方程里有乘方、正弦、余弦或其他奇异的东西，那它就是非线性的。
然而，在谈论动态系统时，我们需要更加谨慎一些，因为如果按照时间的发展绘制图形，线性动态系统会表现出曲线形的行为。前文中提到过银行账户是动态系统。我们可以创造一个简单的线性方程来计算账户余额是如何随着利息的增加而增加的。假设利率是10%（并且我们不会存款或取款），那么关于余额（B）的方程则是Bt+1=Bt（1+0.10）。如果当前的余额是100，那么在下一个时间段就会是110。这种关系也是线性的，因为方程的右边只有加法和乘法。但是，如果绘制余额（B）随着时间（t）的变化图，我们就能得到一条指数级曲线（见图5-la）。即便随着时间的延伸会出现一条曲线，方程依然被认为是线性的，因为变化率是线性的——在本案例中，变化率是一个常量10%。如果绘制下一阶段（t + 1）比当前阶段（t）的图像（见图5-1b），就可以看清这一点，这就是所谓的蜘蛛网图（cobweb diagram）。解读蜘蛛网图的方法是：x轴代表的是当前的余额，而y轴代表的是下一阶段的余额。它能帮助我们看到变化率是在加速、减缓，还是保持不变。在图5-1b中，我们看到的是一条笔直的线，这就意味着变化率是常量，并且系统是线性的。线性开放系统会表现出一系列随着时间的变化而产生的行为，包括静止、直线式增长或衰减以及指数级增长或衰减——在两个案例中，变化率都是线性的。
图5-1 指数级增长的账户余额
如果我们观察非线性动态系统，情况会变得更加有趣。还是回到银行账户的案例上来，我们可以想象一个有点奇怪的账户余额是这样的：Bt+1 = rBt-rBt2，其中r是一个常量。等号右边的平方意味着这个方程式是非线性，我们也可以将这个方程改写成Bt+1=rBt（1-Bt），这是大家熟知的二次映射方程。举个例子来说，如果当前的余额是100，r等于0.10，那么下一阶段的余额将会是-990。虽然这个非线性方程并没有让这个储蓄账户令人满意，但它包含着一些有趣的属性。我们可以将r当作油门，它可以增加或抑制变化的速度，最终，它会让方程呈现出一些与众不同的行为方式。
比如，我们将初始余额设定为0.1，将r设定为1.5，余额将增加到0.3333，然后永远停留在那儿不动（见图5-2a）。如果我们看一看蜘蛛网图（见图5-2b），就能看到变化率随着平缓的曲线不断上升，直到余额达到0.3333，它就不再变化了。这就是我们的老朋友均衡，或者按照动态系统的说法，它是一个定点吸引子——它之所以得名，是因为在蜘蛛网图中，系统会被拉到或者吸引到某个固定的点上（在本例中，这个点是0.3333）。如果我们将r设置为3.3，就会得到一个很不一样的结果。系统会进行规则的振荡，宛如一个来回摆动的钟摆（这被称为周期极限环，见图5-3）。
图5-2 定点吸引子账户
图5-3 周期极限环账户
如果我们将r值稍微调高至3.52，简单的振荡就会变成更加复杂的振荡，就好像心跳模式（准周期极限环，见图5-4）。有一些非线性系统会表现出极其复杂的模式并持续很长一段时间，但最终还是会变成重复。如果我们将r值升为4，就会得到一团混沌（见图5-5a）。混沌系统有三个重要特征。第一，尽管它或许看似随机，但其实它是确定的。举个例子来说，我们的混沌银行账户公式中并没有随机因素。第二，与周期系统不同的是，你可以永远将公式运行下去，并且永远不会重复（尽管有时我们很难将真正的混沌系统与周期很长、很复杂的振荡系统区分开来）。第三，混沌系统是有界限的。即便系统的路线分布广泛，但总有它到不了的地方。在账户余额的案例中，这个值处于0～1之间，而在蜘蛛网图中，我们可以看到，系统的轨迹以一个大致三角形（中间有个洞）的形状向外延伸（见图5-5b）。你会发现要将左边余额随时间变化的图形与右边展示变化率的蜘蛛网图联系起来有点儿棘手，其实并不只有你会这样觉得。非线性动态系统并不都是直观的，我们将会在后面看到，当人们试图在这样的系统中做决策时，这会带来一些麻烦。
图5-4 准周期极限环账户
图5-5 混沌账户
仅仅改变一个变量就能使结果大不相同，这表现了非线性动态系统的一个特性：对于初始状况的敏感性。你可以想象一位高尔夫球员在一片高低起伏的草地上击球。如果球员进行了两次轻击，但是球的起点位置或挥杆的角度和力量稍有不同，两个球的走向就会大不一样，最终在草地上的位置也相距甚远。非线性会使得初始时的一点小差别随着时间的推移而被放大，因此，除非你无限精准地了解系统的初始状态，否则就无法知道最终的状态。
相关的特性是，非线性动态系统具有路径依赖性，换言之就是其会受到历史影响。t + 1时的银行余额取决于t时的余额，同样，高尔夫球手的第四杆取决于第三杆，第三杆又取决于第二杆，以此类推。在这一连串的事件中，发生任何一点变化都会使得结果大不相同，比如，第二杆如果打得不一样就会彻底影响到第四杆。
这两个特性，即对于初始状况的敏感性和路径依赖性，使得非线性系统难以掌控，并且在许多情况下都无法预测。事实上，差不多就在瓦尔拉斯思考物理教科书的那段时间，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）发现了混沌，并且证明许多类型的非线性动态系统可以用当时的数学工具来说明。7由于可以用分析的方法来解决方程，我们就无法快速看清非线性动态系统可以做什么。看清系统如何运作的唯一办法就是让它运作。在电脑上让系统运作非常简单（例如，银行账户的案例就可以用一个简单的电子数据表来解决），但如果用手工来做就会变得繁重异常。因此，在庞加莱的发现之后，科学家除了选择忽视非线性系统或用线性方程进行近似替代之外别无他法。对于非线性系统的研究被冷落了70余年，直到20世纪60年代至70年代才有起色，因为当时出现了新数学工具和电脑，研究才得以重启，非线性系统如今已成为物理学家的基本话题。8
这种发展非常重要，因为非线性系统在自然界中十分普遍，涵盖了从飞机机翼上方的湍流到气候、激光以及大脑中的突触刺激等诸多现象。非线性系统是如此之普遍，而真正的线性系统则相对罕见，这让数学家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）认为，物理学家专门将一个领域定义为“非线性系统”是非常愚蠢的，这就好比动物学家专门定义了一门“非大象动物学”——关于除大象之外的所有动物的研究。
