变形——因式分解1

因式分解的概念

像这样，把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.

其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.

判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： 

A. x(a﹣b)=ax﹣bx；× 

B. x²﹣1+y²=(x﹣1)(x+1)+y² ； × 

C. y²﹣1=(y+1)(y﹣1)； √ 

D. ax+by+c=x(a+b)+c；×

E. 2a³b=a²2ab； × 

F. (x+3)(x﹣3)=x²﹣9；×

提示：判定一个变形是因式分解的条件：

(1)左边是多项式．

(2)右边是积的形式.

(3)右边的因式全是整式.

因式分解与整式乘法的关系

因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积，整式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式 。

例 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值. 

解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3） = ax2+ax-6a. 

所以a=1，b=﹣6a=﹣6， 

方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.

例. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m+n的值为? 

解析：由题意可得 x2+4mx+5=（x+5）（x+n） =x2+（n+5）x+5n， 5n=5，4m=n+5． 

解得n=1，m=3/2， m+n=1+3/2= 5/2. 

例. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，求mn的值. 

解：因为x⁴+mx³+nx﹣16的最高次数是4， 

所以可设x⁴+mx³+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x²+ax+b)， 

则 x⁴+mx³+nx-16=x⁴+(a-3)x³+(b-3a+2)x²+(2a-3b)x+2b 

比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n 

解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. 

所以mn=﹣5×20=﹣100． 

例. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值. 

解：分解因式甲看错了b，但a是正确的， 其分解结果为x²+ax+b=(x+2)(x+4)=x²+6x+8， 

所以a=6， 

同理，乙看错了a，但b是正确的， 分解结果为x²+ax+b=(x+1)(x+9)=x²+10x+9， 

所以b=9， 

因此a+b=15．