一、线段垂直平分线性质定理的逆定理
如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，
PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
线段垂直平分线的逆定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
与A，B 的距离相等的点都在直线L上，所以直线L 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.
二、用尺规作垂线或线段的垂直平分线
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于1/2 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD. CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（A）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 多少种.
无数
3.如图，点D在△ABC的边BC上且BC=BD+AD，则点D在线段_______垂直平分线上.AC
4.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
5. 已知:如图所示,点A,B是直线外的任意两点,在直线l上,试确定一点P,使AP+BP最短.
解:如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,交直线l于点P,则AP+BP最短.
解:∵点A和点A'关于直线l对称,
∴AP=A'P.
∴AP+BP=A'P+BP=A'B(等量代换),
如图所示,在直线L上任取一个异于点P的点P',
连接AP',BP',A'P',则A'P'+BP'>A'B(两点之间线段最短).
即AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B=AP+BP.
∴AP+BP最短.
