市场上的最后通牒博弈
人们抵制他们认为不公平分配的意愿，在经济学上有超越议价理论的启示。每当一个垄断者设定了一个价格（或工资），它就具有了最后通牒的性质。正如在最后通牒博弈中的接受者，可能拒绝一个数目很小，但是大于0的出价，买方也会避免买一个标价将消费者剩余压缩到最小的不公平交易。在一次高管教育课程中，两组参与者被问到以下的问题。其中一组收到了以下有方括号的版本，另一组则收到有圆括号的版本。
在一个炎热的午后，你躺在沙滩上，非常想喝冰镇饮料。过去4个小时，你一直在想来一瓶你最爱的冰啤酒该多好。这时，有个同伴起身去打电话，并提出要从附近唯一卖啤酒的地方（一家高档的度假饭店）［一家小而破烂的杂货店］带回一瓶。他说啤酒可能很贵，问你愿意付多少钱。他说如果价格低于或等于你说的价格，他就会买。但如果高于你说的价格，他就不买。你信任你的朋友，而且也不可能跟（酒保）［店家］讨价还价。你愿意出多少价钱呢？（Thaler, 1985）
请注意，这个情节是简单的最后通牒博弈，回答问题的人是接受者的角色。高档饭店版的价格均衡值为2.65美元，而杂货店版的均衡值为1.50美元。因为考虑到成本的不同，一瓶啤酒要价2.65美元在度假饭店似乎是合理的，但在一家破烂的杂货店则是“抢钱”。
一般而言，消费者可能不愿意参加一个对方拿走大部分剩余的交易。这可能解释了为何有些市场（例如，超级杯足球赛入场券、星期六晚镇上最热门餐馆的座位预订、布鲁斯·史普林斯汀演唱会的门票等）无法以卖方所定的价格结清市场。[9]每当卖方与买方有持续关系存在，且市场结清价格被认为是不公平的高时，卖方会有动机将价格降到均衡价格之下，以保住未来的生意。[10]（这些问题详细的讨论请见Thaler, 1985；Kahneman, Knetsch, and Thaler, 1986a。）
评论
贝尔、雷法和特沃斯基（Bell, Raiffa, and Tversky, 1988）认为，在不确定情形下，区分三种决策理论是有用的。“标准化理论”告诉我们，一个理性的主体应该会做什么。“描述性理论”告诉我们经济个体实际上是如何去做的。“指示性理论”则是在我们面对自己认知上或是其他方面的限制时，建议我们要如何做。议价博弈的研究，指出我们需要一个类似以上三种理论的博弈理论。目前的博弈理论是标准化的理论，是在自利与理性为共识的情形下，描绘出最优行为。为了描述人们的真实行为，实验研究也正在寻找必要的证据。然而，在协助发展指示性博弈理论上，我们的相关研究仍然很少。对麦琪问题的分析显示出我们研究上的空白。为了解决收益最大化的出价问题，必须要能描绘出接受者的接受函数。对每一个已给定的出价，接受者会拒绝的概率是多少呢？
在多阶段博弈中，最优策略就更不清楚了。试想在NSS的五回合博弈中，c为15美元。在第二到第五回合，c值分别为5.10美元、1.74美元、0.60美元及0.21美元。那第一回合的最优出价是多少呢？此处有两个重要的“指示性”博弈理论上的考虑：（1）什么样的出价参与者B认为是公平的？（2）参与者B了解这个博弈吗？这两个因素可能都很重要。为了对第二个因素所扮演的角色有点概念，我在康奈尔大学MBA层次的定价及策略课程的期末考中安排了一个问题。这门课要求学生修过中级微观经济学，并且在班上已经讨论过博弈理论、逆向归纳法及简单最后通牒博弈。试卷上有8个问题，学生必须回答其中五道题。我这个问题的一开始是描述NSS五回合博弈，假设两个参与者都是理性的，且两个人都希望在博弈中得到最多的钱。然后问学生：第一回合参与者A提出的能被参与者B接受的最低出价是多少？
班上30个学生中，只有13个人选择回答这一道题，而且只有9个人的回答是正确的。这显示班上超过一半的学生不确定他们知道答案，而在认为知道答案的学生之中，有30%答错。很明显，这不是一个小问题，逆向归纳法不是直觉上很明显的概念。为了要了解这个问题的重要性，试想有一个参与者A考虑出价4美元给参与者B。虽然参与者A可能知道这是大于参与者B想得到的，但是如果参与者B认为他可以得到5.09美元，他可能就会错误地拒绝这个出价。
所以，如果麦琪参与这个五回合博弈，在给她建议之前，我们想知道她的对手有多聪明。他读过博弈理论吗？不要说逆向归纳法了，他会减法吗？为了发展“指示性”博弈理论，认为理性及财富最大化为共识的假设必须要做修正。一个理性的、最大化财富的参与者，必须了解他的对手可能两者都不是，因此必须对他的策略做适度的改变。[11]请注意，在发展指示性的博弈理论上，理论工作和实证工作两者都必不可少。单纯的理论无法告诉我们，对手的效用函数中有哪些因素，以及要为他的理性划定什么样的限制。
从这个研究可以很明显地得出一个结论，就是公平的观念在协议结果的决定上，扮演重要的角色。然而，对公平的概念[12]并不排除影响行为的其他因素，包括贪婪。在BSS的论文中，他们将问题表达成两种极端立场之间的对抗。他们将人区分为“公平人”以及“博弈人”，平均分配每样东西的人被视为“公平人”，而行为像是符合经济理论的人，（也就是自利且理性的），被视为是“博弈人”。我敢肯定，大多数人都不完全是任何一个极端观点所描述的人。反而是，大多数人喜欢多一些钱甚于少一些钱，也喜欢被公平对待，而且喜欢公平对待他人。当这些目标互相冲突时，受试者会做某种程度的取舍。[13]行为显然在很大程度上取决于情境和环境中其他微妙的情况。在一些实验中，大部分的分配者选择平均分配，而有些实验，大多数又是选择博弈论式的分配。未来的研究应该探索会产生每一种行为的因素，而不是试图证明一种行为或另一种行为具有优势。
就像将受试者描述成公平人或是博弈人就过分简化了，跟硬要区分“硬的”和“软的”一样。经济学家倾向于认为自己，以及他们模型中的个体，是有“硬心肠”（还有头、鼻子及四肢）。经济人通常被假设是关心财富多于公平及正义的。相反，许多经济学家认为其他社会科学家（以及他们模型中的个体）是“软弱者”。最后通牒博弈的研究掩饰了如此简单的特征。即使在被拒绝的风险不存在的情况下，分配者也有选择“软弱”（50对50分配方案）的倾向。然而，与经济模型不一致的是，接受者的行为明显是强硬的。事实上，他们会对分配者说：“带着你微不足道的出价滚一边去吧！”
[1]1英里≈1.61千米。——编者注
[2]我们不能确定0马克出价的接受者是搞错了，还是表现得太大方，或只是对于议价理论有深刻的理解。
[3]这三组实验以不同的学生群体为受试者。在全部的案例中，参与者都被告知他们实验的伙伴是别的班的人。分配者的出价与古思等人得到的结果类似，出价平均范围在4.21加元到4.76加元之间。有趣的是，最大方的出价是由心理系学生对另一班心理系学生提出的。心理系学生对商学系学生的出价则没那么大方，但是最不大方的出价是出现在商学系学生对心理系学生的出价。同样地，提出最低的、最小可接受出价的，也是商学系的学生。
[4]在这里有一个额外规定，即参与者B不得在拒绝出价之后又提出一个让自己拿更少的出价，这样的行为视同协议不成，两个参与者都拿不到钱。因此当δ为0.1时，如果参与者A提出大于0.1c的出价，这就相当于是最后通牒博弈，因为如果参与者B拒绝，就宣告协议不成。后面会讨论到的欧奇斯和罗斯（Ochs and Roth,1988）做的实验，表明这条规定可能具有实际效力。
[5]c为1 000美元，或是10万美元的最后通牒博弈，结果会如何呢？我们都没有研究经费可以进行这样的实验，所以我们只能用猜的。我自己的猜测是，接受者可接受的最低出价会随着c的增加而增加，但不是线性的关系。在c为10美元时，最低可接受出价的中位数约为0.2c。在c为1 000美元时，我猜想这个出价会降到0.05c到0.1c之间（50美元到100美元之间）。最低的可接受出价可能也会随着财富的增加而增加，这表示对抗不公平的出价是一件正常的事。
[6]请注意导出第一回合均衡出价所必须的逆向归纳法，用在三回合及五回合博弈时会比较复杂。五回合博弈的分析：如果博弈到达第五回合时，参与者A为分配者，他给参与者B的出价是0.01美元（按照假设，参与者B会接受），所以参与者A在这一回合能得到0.06美元。这意味在第四回合，参与者B必须提供给参与者A至少0.06美元，自己保留0.14美元，以此类推。
[7]受试者被告知在完成实验后，会随机选择其中一个回合，根据那个回合的结果付给他们报酬。
[8]表示理论预测值与实际值之间的相关不大，且理论值对实际出价的影响近乎没有。——译者注
[9]在市场结清价格等于均衡价格时，供给等于需求。而上述市场中，卖方所定的价格（官方价格）低于均衡价格，此时需求会超过供给。——译者注
[10]即官方所定的价格低于均衡价格，需求会大于供给，因此出现黑市，而黑市价格非常高也就反映出均衡价格非常高的事实。——译者注
[11]这类的分析在专业桥牌上是很普遍的。不像许多其他的竞赛场合，桥牌比赛中，专家常常会碰到业余的对手。在碰到业余对手的场次，最优策略在一定程度上是靠引诱对手出错。
[12]我们必须强调公平这个课题是很复杂的。公平的理解常常与经济学家看来是自然的观点有差距。例如，卡尼曼、克莱齐和塞勒（Kahneman, Knetsch, and Thaler, 1986a）发现大多数人相信排队比市场公平，而亚利及巴-希尔（Yaari and Bar-Hillel, 1984）发现当做公平的判断时，人们会把“需要”和“想要”区别开来。公平的主张在协议中也是相当普遍的。当议价者因自利的理由使用公平的主张时（“我认为我应该拿多一些，因为这样才公平……”），这样的主张仍然是有效果的（Roth, 1987）。
[13]关于这点，在卡尼曼等人（Kahneman, Knetsch, and Thaler, 1986b）所做的实验中，分配者只容许在两种分配20加元的方式中做选择（18对2，或10对10）。大多数人选择平均分配。然而，如果他们有中间分配的选项，像是12对8，可能许多人会选择这个。
