犹太文学中有一则故事，可能源自早年近东口口相传的民间故事，说的是一位国王对他的儿子大发雷霆，发誓要用大石头压死儿子。可冷静下来后，他意识到自己遇到了麻烦，国王一言九鼎，食言未免有损权威。于是，国王的智囊团想出了一个解决方案。他们把大石头碎成小石子，随后就用这些石子投向国王顽劣的儿子。
1 000块小石子和同等重量的大石头之间的区别，是说明脆弱性源于非线性效应的一个有力例证。再次强调一下，“非线性”是指反应无法直接估计的、不呈直线分布的效应，所以如果你将药的剂量加倍，药效可能大大高于或者低于两倍。如果我朝一个人的头上扔了一块重达10磅的石头，它造成的伤害要比一块5磅重的石头所造成伤害的两倍更严重，比一块1磅重的石头所造成伤害的5倍严重得多。道理很简单：如果你画一个坐标，纵轴表示伤害的大小，横轴表示石块的大小，那么这根线一定是曲线，而不是直线。这是不对称性的表现。
其实，我们可以通过简单的方法来识别脆弱性：
对于脆弱的事物来说，冲击带来的伤害会随着冲击强度的增加而以更快的速度增长（直到达到某一水平）。
该示例在图12–1中也展示过了。比如，你的车是脆弱的。如果你驾驶它以每小时50英里的速度撞到墙上，造成的伤害会大于时速5英里所造成伤害的10倍，也就是说时速50英里所造成的危害是时速5英里所造成危害的10倍以上。
图18–2
国王和儿子。石头带来的伤害是石头大小的一个函数（在一定限度内）。石头重量每增加一个单位，危害就增加一个单位以上。这里的“非线性”显而易见（伤害曲线是往里弯的，垂直坡度越来越陡）
再举些其他的例子。一次喝7瓶葡萄酒（波尔多），然后在剩下的6天里只喝纯净水与柠檬汁的危害，比每天喝一瓶葡萄酒、连喝7天（倒在杯子里，每餐喝两杯）更严重。每多喝一杯酒带来的伤害都要比前一杯酒的伤害更大，所以你的生理系统对酒精呈现出脆弱性。让一个瓷杯从1英尺（约30厘米）高的地方落到地板上的结果，比它从1英寸（2.5厘米）高的地方落下所造成伤害的12倍还严重。
从一个30英尺（10米）高的地方跳下的危害是从3英尺（1米）高的地方跳下所造成危害的10倍以上——实际上，30英尺似乎是自由坠落导致死亡的临界点。
请注意，这是我们在前两章中看到的不对称性的简单扩展，我们曾用塞内加的思想引发了有关非线性的讨论，现在将进一步深入。不对称性必然是非线性的。它带来的弊远大于利：原因很简单，其强度增加带来的伤害远比强度等量减少带来的益处要大。
为什么脆弱性是非线性的？
让我来解释一下核心论点——为什么脆弱性一般都是非线性的，而不是线性的？答案是我看到瓷杯时感悟到的。这与生存概率的结构相关：对于一个尚未受到损害的事物（或存活的生物）而言，一块巨石产生的伤害要远大于1 000块小石子，即一件罕见的严重事件的影响将远超过较小冲击的累积影响。
如果一个人从0.03英尺的高度往下跳（很小的冲击力）造成的损害是从3英尺的高度跳到地上所致伤害的线性比率，那么这个人会因为累积伤害而死亡。其实，我们用简单的计算就可以表明，几个小时内他会因为接触物体，或者在客厅里走来走去而死亡，因为这样的压力因子不计其数，而且它们造成的影响十分可观。如果脆弱性源于线性，那么我们可以马上看到结果，因为它造成的后果不是物体损坏就是人死亡，所以我们完全可以排除这种可能性。那么，接下来我们要思考的就是：脆弱的事物往往当前是完好无缺，但其受制于非线性影响，而且极端或罕见事件因为大力（或高速）所造成的冲击比微小（或低速）所造成的冲击要少见。
我将这个概念与“黑天鹅”、极端事件相关联。普通事件比极端事件要常见得多。在金融市场中，每天发生的波幅为0.1%的波动数量至少是波幅超过10%的波动数量的10 000倍。地球上每天大约发生8 000次微震，也就是说，每年可能有300万次低于里氏2级的微震，它们是完全无害的。但强度等于或高于里氏6级的地震，就会登上新闻版面了。再以瓷杯等物体为例，它们经历过很多次敲击或碰撞，比如每平方英寸承受1/100磅的冲击（这个度量是我随意定的）是每平方英寸遭受100磅的冲击，多出100万次，所以它不会轻易破碎。相应的，人类也对许多小的偏差，或者幅度非常小的震荡的累积效应免疫，这意味着与严重的冲击相比，这些温和的冲击对我们的影响非常小（即非线性地小）。
让我再说一次我以前说过的准则：
对于脆弱的物体而言，温和冲击的累积效应低于等量的单一严重冲击所造成的单一影响。
这让我看到了一条规律：极端事件对脆弱性事物的伤害程度远高于一系列温和事件造成的伤害——再没有其他办法可以界定脆弱性事物了。
现在，让我们把这一论点反过来，来考虑一下反脆弱性。反脆弱性也是根植于非线性与非线性反应的。
对于反脆弱性物体来说，在一定限度内，冲击越强，带来的益处越大（相应的，伤害也更小）。
举一个简单的例子，这是练习举重的人从启发法中得到的。还记得第2章中我模拟保镖训练的故事吗？我只关注我可以举起的最大重量。一次举起100磅带来的好处要比分两次、每次举起50磅带来的益处更多，当然，也比一次举1磅、举上100次的益处多。这里的益处是从举重者的角度来说的：增强了体质和肌肉紧实度，看上去更魁梧，更有威慑力，但这与跑马拉松的耐力和能力是否增强无关。增加的50磅重量发挥了更大的作用，因此我们看到的是非线性效应（也就是我们将看到凸性）。每增加一磅就会带来更多的好处，直到接近极限，也即举重运动员所说的“淘汰”线。
现在，只要注意这条简单的曲线所涉及的范围就可以了：它对我们看得见的几乎所有东西都会产生影响，包括医疗错误、政府规模，以及创新等任何与不确定性有关的东西。它有助于建立第二卷中有关规模和集中度的论点背后的技术性支持框架。
何时微笑，何时噘嘴
非线性分为两种：如国王和儿子的例子所展现的凹性效应（曲线向内），或者相反的凸性效应（曲线向外）。当然，也有混合情况，即兼具凹性效应和凸性效应。
图18–3
两种非线性：凹性效应（左）和凸性效应（右）
图18–4
微笑！这是了解凸性效应和凹性效应的更好方式。曲线外凸看起来像一张笑脸，而曲线内凹则看上去像在噘嘴。凸性（左）是具有反脆弱性的，而凹性（右）是脆弱的（负凸性效应）
图18–3和图18–4显示了简化的非线性：凸性效应和凹性效应分别像微笑和噘嘴。
我用“凸性效应”来指代这两种状态以简化我们的用词，即称一个为“正凸性效应”，另一个为“负凸性效应”。
为什么凸性效应和凹性效应具有不对称性呢？简单地说，如果你从一个给定变化中获得的利大于弊，那么你由此绘制的曲线就是凸性的；反之，就是凹性的。图18–5从非线性的角度再次表述了不对称性。它也显示了数学的神奇作用，使我们能以同样的方式处理鞑靼牛排、创业精神和财务风险：如果在前面画上负号，那么凸性曲线就变成了凹性曲线。比如，胖子托尼从一项交易中获得的收益恰恰与银行或金融机构完全相反：每当银行和金融机构受损，胖子托尼便会赚得盆满钵满。一天的交易结束时，利润和损失就像镜子内外的一对镜像，其一是在另一个前面加上负号。
图18–5也说明了为什么凸性效应喜欢波动性。如果你从波动中赚到的钱比你失去的要多，那么你会喜欢更多的波动性。
为什么凹性会受黑天鹅事件的伤害？
现在让我们来看看这一辈子都萦绕在我脑海中的想法，我从来没有意识到这个想法能以图形的形式如此明确地表达出来。图18–6显示了意外事件及其所致伤害的影响。风险的凹性越大，来自意外事件的伤害就越大，而且大得不成比例。因此非常大的偏差会招致一个大得不成比例的影响。
图18–5
痛苦多于收益，或者收益多于痛苦。假设你从“你在这里”这一点开始，在第一种情况下，当变量x增加，即在横轴上向右移动，获得的收益（纵轴）将比变量x向左移动，即减少相同幅度时所遭受的损失更大。该图说明了正面不对称性（左图）会带来凸性效应（曲线向内），而负面不对称性（右图）会带来凹性效应（曲线向外）。再重申一遍，当变量在两个方向产生同等幅度的偏差时，凸性效应带来的收益会大于其损失，而凹性效应带来的收益则会小于损失
图18–6
每个图中有两类风险，一种是线性的，一种是非线性的。左图显示的是负凸性，也就是凹性，右图是正凸性。突发事件会对非线性产生不成比例的严重影响。事件越严重，两类风险所致影响的差别就越大
接下来，让我们用这个非常简单的技术来识别三元结构中的脆弱性及其位置。
纽约的交通
让我们把“凸性效应”运用到我们身边的事物上。交通是高度非线性的。如果我要乘白天的航班从纽约飞到伦敦，我需要在早上5点左右（是的，我知道）离开我的住处，26分钟后可以到达美国肯尼迪国际机场的英航航站楼。在这个时间段，纽约几乎是一座空城，仿佛这里根本不是纽约。如果我6点离开我的住所去赶一班稍晚一点儿的飞机，路上花费的时间几乎与赶乘之前的航班没有什么区别，至多路上的车多了一些。高速公路上再增加一些车也几乎不会对交通产生什么影响，或影响很小。
接着，一件神秘的事情发生了——汽车数量增加10%后，路上花费的时间猛增了50%（我用的是近似数）。请看凸性效应的作用：道路上的汽车平均数对行车速度来说并不重要。如果前1个小时有9万辆汽车行驶在路上，下1个小时有11万辆汽车行驶在路上，那么汽车行驶的速度远比平均每小时有10万辆汽车要慢。请注意，行车时间是负数，我把它当作成本计算，就像费用一样，交通时间增加是一件坏事。
所以，出行成本在高速公路上汽车数量的波动性面前是脆弱的，它不那么依赖平均数。每增加一辆汽车，都会使交通时间增加很多。
这对当今世界的一个核心问题（也就是那些致力于创建“高效”和“优化”系统的人，却对非线性反应）给了我们启发。例如，欧洲的机场和铁路负荷都很重，因为它们似乎过于高效了。它们以接近最大容量的负荷来运行，导致冗余和闲置容量很小，因此成本很低；但是，只要乘客数量稍微增加，比如由于一个小小的乘客滞留问题导致航班增开5%，就会给机场造成混乱，乃至让怨声载道的旅客在机场过夜，唯一的安慰就是听一些流浪者用吉他演奏法国民歌。
接下来，我们可以看看这个概念在整个经济领域的应用：中央银行可以印钞票，它不停地印，却毫无效果（但中央银行自称这种措施是“安全”的），随后，印钞票的活动“意外”地引发了通货膨胀。许多经济成果都因凸性效应而完全消除——好消息是，我们知道这是如何引发的。可惜的是，政策制定者的工具（和文化）都过度依赖于线性，而忽略了那些隐藏的效果，他们称之为“近似”。但是，当你听到有人谈论“二阶”效应，你就会明白，凸性效应会导致近似结果根本无法代表现实情况。
图18–7中，我绘制了一条假设性的曲线，代表行车时间对汽车数量的反应。请注意图中曲线是向内弯曲的。
图18–7
该图显示，我到肯尼迪机场的行车时间（和行车成本）在超过某一点之后，对路上的汽车数量呈现非线性反应。行车成本曲线朝内弯曲——形成凹性效应——不是一件好事
有人打电话给纽约市政府官员
关于凸性效应加上对大偏差的错误预测，是如何影响一个过度优化的系统的，我有一个恰当的例子来说明这一点。这是一个简单的故事，说的是纽约市官员低估了封闭一条路对交通拥堵所造成的影响。这个错误是非常普遍的：一些细微的变动就会给超负荷运转的系统（因此也是脆弱性的系统）带来严重的后果。
2011年11月一个星期六的晚上，我开车到纽约市与哲学家保罗·博格西恩见面，然后去一个村庄共进晚餐——平常开车40分钟就会到达。具有讽刺意味的是，我与博格西恩见面是为了谈谈我的书——就是现在的这本书，尤其是我对系统中冗余功能的理解。我一直提倡在人们的生活中增加冗余元素，我也一直在向他和其他人吹嘘，自从我2007年立下新年决心以来，我从来没有在任何事情上迟到过，哪怕是一分钟（嗯，差不多）。回想一下在第2章中我宣传冗余性的积极立场。这样的个人自律迫使我做什么事情都会考虑缓冲时间，我会随身携带一个笔记本，在等待别人的时候记一些名言警句，如今我已经记了满满一本了。这还不算我在书店读书时做的记录。或者，我也可以利用这些时间坐在咖啡厅里，阅读平时不愿查阅的电子邮件。而且心里一点儿压力也没有，因为我不用担心迟到。这样的自律最大的好处是，它可以防止我把一天中都塞满了约会（通常情况下，约会既无用处也不令人愉快）。其实，根据我的另一条自律规定，我一般不预先安排约会（除了听讲座），因为在日历上框定约会日期会让我感觉自己就像一个囚犯，不过这是另外一回事了。
当我晚上6点左右到达市中心时，交通已经很拥堵了，完全停滞了。到了晚上8点，我的车只行驶了几个街区。所以，即使我有“冗余缓冲”也没法让我再保持到那时为止尚未打破的新年决心了。然后，在调试了一番我好久不用的收音机后，我才了解到发生了什么事：纽约市批准一家专业电影公司使用第59号街桥，从而阻断了部分交通，因为他们认为在星期六这样做不会有问题。但正是这个小小的交通问题最后却因为乘法效应而演变成了一片混乱。纽约市政府原本以为只会让交通延迟几分钟的事情最终升级了两个数量级，延迟几分钟变成了延迟几个小时。简单地说，原因就在于纽约市政府没弄明白非线性关系。
这正是效率的核心问题：此类错误会如滚雪球般，经过数倍放大，而且其效应只往一个方向发展，即错误的方向。
