A.“风险共担”和尾部概率
附图1 罗伯特·鲁宾的勾当
注：非对称的回报：收益明显可见（还会收到报酬）而损失则极少发生（即便发生了也没有惩罚，因为缺乏“风险共担”的机制）。还可以推广到政治和其他惩罚力度不大的领域。
本节将讨论尾部风险概率不匹配的问题以及委托代理框架下的回报问题。
伤害转移：如果一个代理人只享受随机变量向上时带来的正面收益，而不承担向下时的损失，而且对他的评价是基于其过往历史表现，那么他就有动机使用一个负偏向（更广泛来说是非对称）的收益分布函数将风险隐藏在左端尾部。这可以被推广到任何一种个人对其行为不承担全部风险和损失的情况。
设P (K, M)为交易员在M个激励周期期间的收益：
其中?表示随机变量，代表一定时期[t,t+iΔt]，i∈N，Δt∈R+ 内的利润分布，K代表一个门槛 [1] ，?= inf{s: (Σz≤s xz ) ＜ xmin 是一个停时 [2] ，指向过往几年时间的表现（如必须在某段时期达到某种确定业绩的条件，一旦不满足业绩条件，该交易员就丧失了继续交易的机会，游戏结束并且正向激励停止）。常量γ∈(0，1)是代理人收益，也可以是他的业绩提成，并不一定是指货币形式的收益（任何他获得的好处都是）。qt+(i–1)Δt ∈[1,∞)表示在t+(i–1)Δt时的风险规模（因为数据总是滞后的，s时间段的表现是由早于时间段s的q值来决定的）。
设{fj }是对于Xj 概率测度fj 的集合，j∈N，每个测度对应某个均值/偏度特征，我们可以将它们的属性在“中间性”参数K的两侧分成两半，作为“上”“下”分布。我们将dFj (x)写成fj (x)dx，因此?和?作为上下两个区域的分布，其各自对应条件期望值?和
现定义v ∈ R+ 为一个以K为中心的非参数测度来标识上下两个区域分布的非对称性，当?的值大于1时，为正的非对称性（分布偏向上区），当其值小于1时，为负的非对称性（分布偏向下区）。直观地来看，偏度使得概率和期望值以反方向变化：负收益越大，概率越低。
我们并不假设一个“公平的游戏”，有不受限制的收益m∈(–∞,∞)，?，我们可以写成m+ +m- =m。
对常量q和单一条件停时的简化假设
假设q为常量，q=1，并将停时条件简化为前期没有损失，?=inf{(t+(i–1)Δt):xΔt(i–1)+t
因为假设代理人的收益是独立同分布的，在停时取期望值对应于停时期望值乘以代理人的预期报酬?，且 [4]
在先前没有损失的前提下，停时期望值可以写作没有先前损失条件下的成功概率 [5] ：
我们可以用无间断成功游程来表达停时条件。设Σ为一个连贯的成功游程的有序集合：
Σ≡{{F},{SF},{SSF},...,{(M–1)连续次S,F}}，S和F分别代表时间段Δt内的成功和失败，相应概率为：
对于大的M数值，因为?，我们几乎可以将前面部分看成等式，因此：
最后，代理人的预期收益为：
随着?的增加和（ii）损失概率?的最小化，此数值会增加；但是，这也是核心所在，即使（i）和（ii）的发生是以牺牲m（总回报的预期收益）为代价。
附图2 Indy Mac公司，一家在次贷危机中破产的公司（塔勒布，2009），在没有发生损失的情况下风险一直在积聚，直至爆发危机
值得警惕的是，由于?，因此代理人并不会担心总回报m的等级降低，只要这种恶化是来自分布的左端m- 。从偏度空间看，在j分布下当vj 取最小值（最大化负非对称性），代理人的预期收益最大化。由于仅存在正向激励 [6] ，代理人没有全身心投入“风险共担”，代理人和委托人的总回报取决于负偏度，而不是m。
B.概率的可持续性和遍历性
动态风险承担：如果你反复承担一项风险（任何风险），那么测量这种风险的办法应该是全生命周期，或者你因承担该风险而被缩短的剩余生命。
爆仓属性：爆仓事件的概率处于单个代理人的时间领域，而不对应状态空间（或集合）的尾部概率。这两个领域（时间和空间）的期望不能相互替换。因此，代理人根据状态空间而声称尾部事件（触发爆仓的事件）被“高估”是错误的。
这是杠铃策略背后的主要原因。
这是一个融合一个随机变量和一个对时间和路径都依赖的衍生函数回报的特殊个案。
更直观的翻译是：
如果一条河的平均深度为4英尺，就千万不要过河。 [7]
一个简化的案例
考虑一个极其简化的例子，一个支集在正实数（R+ ）内的独立变量序列?，经典概率论里面的收敛定理通过（弱式）大数定律（以概率收敛）来解决总和或平均的行为：?。正如第19章中赌场故事所揭示的，n趋向无穷可以使概率收敛于真实平均收益m。虽然大数定律可以应用于可被时间严格分割的i事件，但该定律假设事件的独立性，而且对路径的独立性有严格要求。
现在考虑?，其中每个状态变量Xi 都是以时间单位t:0
我们以一个时间概率来描述一个单一代理人i的演化。
由于（委托代理关系的）终点就是爆仓，而且是不可逆转的（本金全损以后无法重新开始），因此，每一次观察都是以前一时间段内观察到的属性为条件的，在t时间段内发生的事情取决于t–1，在t–1发生的事情取决于t–2，依此类推。我们现在有了路径依赖。
下面我们谈谈遍历性的失效。
定理1 （状态空间–时间不等式）：假设对于任意t，表示为?t，P (Xt = 0) > 0,以及X0 > 0，EN (Xt ) < ∞是静止初始时间t的状态空间期望值，ET (Xi )是任何代理人i的时间期望值，两者可由（弱式）大数定律获得。我们有
EN (Xt ) ≥ ET (Xi )
证明：
其中1Xt?1>0 是一个前一期存活的指标函数（游戏还能玩下去）。因此，对于t的n极限显示了递减的时间期望值：EN ( Xt–1 ) ≤ EN ( Xt )
我们可以证明发散性：
我们通过使T<∞，由递归迭代期望定律可得到所有T的不等式。
我们可以看到全体风险承担者在任何时间t都预期回报?，而每个风险承担个体最终都会爆仓。
其他方法：我们还可以用测度理论的方法证明这一点。“不爆仓”A的空间集合之间没有交集，但其时间集合则不是这样的。该方法以度量ν的如下事实为基础：
几乎所有用期权来表明精算过高估计了尾部风险的论文都被定理1中的不等式证明为无效（巴伯里斯，2003）。显然，他们假设代理人一生只做一次决定或者只冒一次风险。那些讨论“偏见”的论文假设代理人余生不再做任何决定了。
如果只取决于“爆仓”的话，那么解决这类路径依赖的方法就是引进一个X函数，使得（路径依赖）集合的均值和（时间依赖）集合的均值具有相同的属性。自然对数是一个不错的选择，因此，?和?属于相同的概率类；因此一个概率测度相对于另外一个概率测度是不变的——就是所谓的遍历性。因此，在有“爆仓”可能的条件下分析回报和风险时，有必要引进变量的对数变化形式（彼得斯，2011）或左尾的有界性（凯利，1956），同时最大化右尾的机会（盖尔曼，2016）或者左尾的有界性（杰曼等，2015）。
我们在这里表明的是，除非进行对数变换（爆仓点设定为X=0，产生一个平滑函数），否则两种期望都会发散。预防原理的要点是尽量降低爆仓的概率以避免依赖使用对数或者转换形式。
彼得斯和盖尔曼（2014）在他们的硕士论文中表明，伯努利使用对数函数并非为了一个凹性“效用”函数，按照凯利的标准来看，是要重建遍历性。下面是有关该问题的发展历程：
·伯努利发现了使用对数形式时的风险披着“效用”的外衣。
·凯利和索普重显对数源于作为一个最佳赌博策略的增长标准的最大化，且与效用无关。
·萨缪尔森认为对数太具侵略性，他没有意识到半对数（或者偏对数）有时可用。从门格尔到艾罗，中间还有切尔诺夫和萨缪尔森，许多决策理论被证明犯了遍历性的错误。
·皮特曼在1975年发现布朗运动的吸收壁设置为零时，审查吸收路径后，演变成三维贝塞尔过程。幸存路径的漂移是?，是对数的积分。
·彼得斯和盖尔曼重新证明遍历性对数的合理性，并将凯利–索普的研究置于严格的物理学基础之上。
·西里洛和作者本人于2015年发现，为了消除允许极值理论使用的单尾紧支集，log在创建分布的双重对象中起到了独特的平滑变换作用。
我们能够证明（作者本人和布瑞斯，相关论文仍在准备和沟通过程中）对数转换作为避免爆仓的简便方法具有必要性，这恰好是一个双曲绝对风险厌恶实例。
定理1 在布朗运动中的运用
讨论简化版的问题并不影响我们使用更复杂的模型，比如带有吸收壁的完全随机过程。当然，在自然界条件下，比停时机制更极端的情况也可能发生，即爆仓超越本次周期，导致之前生命周期内累计的回报全损（Xt可以取一个极端的负值）。彼得斯和盖尔曼的观点消除了所谓的股权溢价，如果你考虑胖尾因素以及时间和集合的不可替代性，结果会更严重，结果会造成更广泛的接近爆仓的影响。
如果一个人使用带吸收壁的布朗运动随机过程描述这个情况，那么，现实生活中的问题将与之十分相似。在受L影响的过程中，我们可以得到如下吸收壁：
或将其表现为一个几何过程：
其中Z是一个随机变量。
接下来我们进入连续时间模型，并考虑几何布朗运动情况，设?={inf t:Xi,t >L}为停时，这个想法是让停时的简单期望符合剩余生命区间——或保持相同的顺序。
让我们把焦点从概率转向爆仓时的停时τ与剩余生命跨度之间的不匹配。
C.概率可持续原则
原则A：个体在承担任何风险时要遵循这样一个原则，就好像他在一生的剩余时间里都要以某个特定的频率反复承担这个风险。
可持续原则对以下论点十分重要。虽然实验是静止的（我们已经看到了状态空间和时间的混淆），生活是连续的。如果你将引发一次爆仓的小概率作为偶然一遇的风险，承受下来继续从事交易活动，并继续承担这种偶然一遇的风险，最终你爆仓破产的概率是100%。人们容易对此感到困惑，他们总认为爆仓事件的风险属性应该是偶然的，一次性的，仿佛那才是合理的，但这也意味着再遇到一次爆仓也是合理的。请见附图3，好消息是，某些类别的风险发生的概率几乎可以视为零：在过去的30亿年里，地球每天都经受数万亿次的自然变化而仍然存在着，否则我们今天就不在这儿了。在系统中，我们可以用条件概率参数（根据生存偏差调整）来倒推爆仓概率。
现在我们不需要使t→∞，永久可持续也不必要。我们只是延长（某游戏/交易）的生命，t越长，期望算子就越发散。
在离散且简化的条件下，考虑爆仓（或破产）的无条件停时期望：
附图3 为什么爆仓不是可再生资源。无论风险有多么小，从时间上看，有爆仓（或破产）可能的事情最终肯定会发生爆仓（或破产）。任何风险都不应该被视作“偶然性”事件
?，其中λ是在单位时间段内承担风险的次数，T是某个游戏或交易的剩余时间，Ρ是爆仓（或破产）概率，二者在同样的时间段内都面对固定的Ρ。由于?，我们可以在重复多次的情况下校准风险。预期寿命T越长（包含的时间段越多），爆仓破产问题就越严重。人和植物的生命很短，但是大自然的生命至少是108 年了，因此每年的毁灭概率为Ο(10-8 )，严格递增的局部毁灭概率最多为Ο(10-50 >)。在个体–物种–生态系统的等级体系中，等级越高，毁灭的问题越严重。这种双重性取决于t→∞；因此对于有限生命体，这种要求并不必要。
胖尾理论：越是能提供大偏差的系统，爆仓（破产、毁灭）的问题就越严重。
我们将更全面地讨论胖尾问题。显然，各过程的偏差很重要，但是不触及爆仓门槛的偏差无关紧要。
对数变换
根据可持续性原则，“一个人承担一个风险一如他将永远承担这个风险一样”，但这只对于对数（或类似的）转换才适用。
在缺乏对随机变量紧支集的情况下，胖尾这种特性通常令人担忧，而当变量有界时情况就没有那么糟糕了。正如我们已经看到使用对数转换的需要时，当一个在[0,∞）有支集的随机变量现在有（–∞,∞）支集，因而从极值理论派生出来的特性现在也可以应用于我们的分析。类似地，如果损失被定义为一个正数，对应爆仓H为其上限，就可能将其从[0,H]转换为[0,∞）。
克莱默和伦德伯格在保险分析中发现了这个困难，详见克莱默（1930）。
关于遍历性的一个注释：遍历性在统计上不可识别，不可观察，并且对于给出遍历性的时间顺序没有办法测试，情况类似于迪基–富勒关于平稳性测试和菲利普斯–佩伦关于积分顺序的讨论。更关键的是：
如果你的结果是通过观察时间序列获得的，那么你如何对集合概率测度进行解释？
答案和套利类似，套利也没法进行统计测试，但关键在于，有一个事先确定的概率测度（基于“没有免费的午餐”的观点）。此外，考虑“自融资”策略，比如通过动态对冲的办法。在极限情况下，我们假设大数定律将压缩收益，但损失和触碰吸收壁的情况也不会发生。这就满足了我们的遍历性要求，但是无法获得统计测度。而且，几乎所有讨论跨期“投资/消费”的文献都以“没有爆仓（破产）”为前提条件。
我们并不是说给定的证券和随机过程一定是遍历的，但基于其集合概率（通过交叉检验，主观概率假设或仅由套利论证确定），风险承担策略应该符合这一特征。所以这里讲的遍历性仅涉及随机变量或过程的函数，并不是随机过程本身，而这个函数是以“无爆仓（破产）风险”为前提的。
换言之，假设标普500指数的预期回报为“α”，一个遍历性策略，比如凯利公式最终会实现这个“α”，如果因存在吸收壁和其他原因而没有实现的话，它就不是遍历的。
D.胖尾的技术定义
概率分布介于极端薄尾（伯努利）和极端胖尾之间。在分布种类中，经常按照矩的收敛性进行区分：（1）有紧密但不退化的支集；（2）次高斯分布；（3）高斯分布；（4）次指数分布；（5）指数大于3的幂律；（6）指数小于等于3但大于2的幂律；（7）指数小于等于2的幂律。特别地，只有当指数大于1时，幂律分布才有有限均值，只有在指数大于2时，才有有限方差。
设X = (Xi )1≤i≤n 为支集在（R+ ）具有独立同分布且有累积分布函数F的随机变量序列。参见图盖斯（1975）和皮特曼（1980），次指数分布的定义为：
其中F*2 = F' *F [8] 是X1 +X2 的累积分布，是两个独立副本X的总和。这意味着X1 +X2 之和超过x的概率是任何一个独立值超过x的概率的两倍。因此，每当总和超过x时，对于足够大的x值，总和的值取决于任一个超过x的变量——也就是两个变量的最大值，而另一个值贡献可以忽略不计。
更普遍地来看，同样的n个变量的总和受这些变量中最大值的影响。形式上，以下两个属性等价于次指数条件，参见切斯亚科夫（1964）和恩布雷希特（1979）的相关论文。对于给定的n≥2，设?，Mn =max1 ≤ i ≤ n xi
a）
b）
因此，总和Sn 与最大样本Mn 的大小相同，这是另一种证明尾端扮演最重要角色的方法。
直观地说，尾部事件在次指数分布中应该比在与大尾部事件无关的指数分布中下降得更缓慢。事实上，我们可以证明，对于大于零的所有值ε来说，次指数分布没有指数矩：
然而，反过来是错的，因为分布可以没有指数矩，但却不满足次指数条件。
我们注意到，如果我们选择将偏差表示为变量x的负值，用x→–∞代替x→+∞，则极值负值的对称性也会保持相同的结果。对于双尾变量，我们可以分别考虑正面和负面的域。
[1] 交易员只有在为委托人取得高于这个门槛的收益率时才能获得业绩提成。——译者注
[2] 停时（stopping time）是一个时间的随机变量，指未来不确定的一个触发点，比如，上证指数在今日之后第一次触及10000点的时刻是一个停时（当这个时刻来临之时，我们能够确切知道事件已经发生），但是上证指数在今日之后最后一次触及10000点的时刻，则不是一个停时，因为即便这个时刻来了，也无法确定这是最后一次。——译者注
[3] 读者可以将其视作对P（K,M）求期望值。——译者注
[4] 该表达式的意思是两者取其较小值。——译者注
[5] 读者可以将该表达式看成到达停时之前的天数。——译者注
[6] 当业绩达到指标门槛时，代理人可以提成；当出现损失时，对于代理人来说最坏的情况就是离职，回报为零，并不承担委托人的损失。——译者注
[7] 详见1997年作者和P.Jorion的辩论，塔勒布（2007）。
[8] 此处的*代表卷积。——译者注
