为什么我把这称为曼德尔布罗特或分形随机性？拼图的每一块都曾被别人提起过，比如帕累托、尤勒和齐普夫，但是曼德尔布罗特把点连成了线，把随机性与几何联系在了一起（这是最特别的地方），还给随机问题导出了自然的结论。实际上，许多数学家如今之所以有名，部分是因为他挖掘出了他们的研究，用来支持他的观点，我在本书中也采取这种策略。“我不得不找出我的先行者，这样人们才会认真对待我。”他曾经告诉我，他把人们对大人物的信赖当做说服工具。人们几乎可以为任何想法找到先行者。你总能找到对你的论点作过部分研究的某个人，利用他的成就支持你的观点。科学的桂冠只会授予那些把点连成线的人，而不是进行随意观察的人，即使被无知的科学家称为“发明”了适者生存法则的达尔文也不是提出这一理论的第一人。他在《物种起源》的序言中写道，他提出的事实并不一定是原创的，他认为“有趣的”（这是典型的维多利亚式谦虚的说法）地方在于事实的结果。最终，那些看到结果并抓住思想重点的人和看到思想价值的人赢得了时代。他们才是能够谈论相关问题的人。
所以让我描述一下曼德尔布罗特的几何学。
自然的几何学
三角形、正方形、圆形和其他让我们厌倦不已的几何概念或许是美丽而纯粹的概念，但它们更多存在于建筑师、设计师、现代艺术建筑和教师的头脑中，而不在自然之中。这没什么，只不过我们大部分人没有意识到这一点。山峰不是三角形或金字塔形的，树不是圆形的，直线几乎在任何地方都不存在。大自然没有上过高中几何课，也没读过欧几里得的书。大自然的几何学是不规则的，但有自己的逻辑，而且易于理解。
我说过，我们似乎天生喜欢简单的东西，而且只用学到过的东西思考：不论是砌砖工人还是自然哲学家，没有人能够轻易逃脱这种奴役。伟大的伽利略是谬误的揭穿者，但他也写下了如下的文字：
伟大的自然之书一直在我们面前翻开，真正的哲学就在里面……但我们无法阅读，除非我们首先学会它的语言和特征……它以一种数学语言写就，特征就是三角形、圆形和其他几何形状。
伽利略的眼睛不好吗？就连以思想独立著称的伟大的伽利略也不能认清大自然。我相信他的屋子有窗户，而且他会不时地走进自然：他应该知道三角形在自然界中不能轻易找到。我们被如此轻易地洗脑了。
我们要么眼睛瞎了，要么无知，要么二者兼有。大自然的几何学不是欧几里得的几何学，这一点如此明显，但没有人——几乎没有人看得到这一点。
这种（物理上的）盲与致使我们相信赌博代表随机性的游戏谬误如出一辙。
分形
先来让我们看看什么是分形，然后再看它是如何与幂律或突破性法则联系在一起的。
“分形”（fractal）一词是曼德尔布罗特创造的，用来描述不规则和支离破碎的几何图形，它来自拉丁语的fractus一词。分形是几何图形在不同尺度上的重复，显示出越来越小的自相似图形。小的局部在某种程度上与整体具有相似性。我会努力在本章展示分形如何应用于以曼德尔布罗特的名字命名的一类不确定性：曼德尔布罗特随机性。
树叶的脉络看上去像枝条，枝条看上去像树，岩石看上去像缩小的山峰。当一个物体改变大小时，没有发生质的变化。如果你从飞机上看英国的海岸线，就像是拿着放大镜在看。这种自相似意味着计算机或者更具随机性的大自然可以使用这种巧妙而简单的迭代法则，造出看上去极为复杂的形状。这对电脑绘画非常有用，但更重要的是，它就是自然的几何学。曼德尔布罗特设计了一种叫做曼德尔布罗特集的数学图形，是数学史上最著名的图形。它在混沌理论的追随者中流行起来，因为它通过使用一种巧妙的微型递归法则产生越来越复杂的图形。“递归”的意思是对某一事物自身无限使用某种法则。你可以把图形分解为越来越小的图形，永无止境，你会不断看到能够辨认的图形。图形永不重复，但它们互相具有相似性——一种强大的家族相似性。
这些图形在美学上占有重要的地位。想一想它的三个应用：
视觉艺术：现在大部分电脑绘制的图形都是基于某种曼德尔布罗特的分形图形。我们在建筑、绘画和许多视觉艺术中都能看到分形，当然，这些作品的创造者并没有意识到这一点。
音乐：慢慢地哼出《贝多芬第五交响曲》开头的4个音符：嗒、嗒、嗒、嗒。然后把这4个音符分别换成同样的4个音符，这样你就得到了一个16个音符的小节。你会看到（或者听到）每一个较小的音节都与原来那个大的音节相似。巴赫和马勒都写过由小乐章构成的大乐章，而这些小乐章又与大乐章相似。
诗歌：艾米莉·迪金森的诗歌就是分形的：长的段落相似于短的诗句。一位评论家说过：“措辞、韵律、修辞、语势、语气都在有意识地重复。”
分形最初使贝诺特·曼德尔布罗特在数学界被称为下等人。法国数学家被吓坏了。什么？图形？天哪！就像给一群正统的老祖母放色情电影。于是曼德尔布罗特在纽约州北部的一个IBM研究中心充当了知识流亡者。IBM允许他做任何喜欢做的事情。
但普通大众（主要是电脑狂们）看到了问题的关键。曼德尔布罗特的书《自然界的分形几何学》在25年前问世时火了一把。它在艺术界传开，进入美学研究、建筑设计甚至大型工业应用。甚至有人请曼德尔布罗特去当医学教授——据说肺是自相似的！他的演讲现场挤满了各种各样的艺术家，这为他赢得了数学摇滚明星的称号。计算机时代使他成为历史上最具影响力的数学家之一，我是指他的研究成果的应用，而不是指他被象牙塔接受。我们会看到，除了广泛的应用之外，他的研究还有一个不一般的特点：极为易懂。
简单介绍一下他的生平。曼德尔布罗特1936年从华沙到了法国，那时他12岁。由于在纳粹占领法国期间动荡不安的隐秘生活，他没有接受传统枯燥的高卢教育，主要靠自学成材。后来他深受叔叔佐列姆的影响。佐列姆是法国著名的数学家，在法兰西学院担任教授。贝诺特·曼德尔布罗特后来定居美国，大部分时间当产业科学家，间或从事不同的学术研究。
计算机在曼德尔布罗特的新科学思想中有两个作用。首先，我们已经看到，分形图形可以用一种简单的施加于自身的法则产生，而这正是计算机（或大自然）的理想自动行为。其次，在这种视觉图形的产生当中，存在数学家与所生成图形的辩证关系。
下面让我们看看它与随机性的联系。实际上，曼德尔布罗特数学生涯的开始也是偶然事件。
极端斯坦与平均斯坦的视觉方法
此刻，我正盯着我书房里的地毯。如果使用显微镜，我将看到非常粗糙的纹理。如果使用放大镜，纹理会平滑一些，不过仍然很粗糙。但我站着看时，它是平整的，就像一张纸一样光滑。肉眼看到的地毯与平均斯坦和大数定理对应：我看到的是波动的加总，而这些波动是互相抵消的。这就像高斯随机分布：我的咖啡杯不会跳起来的原因在于所有运动粒子相互抵消了。同样，把小的高斯不确定性加起来就得到确定性：这就是大数定理。
高斯随机分布不是自相似的，所以我的咖啡杯不会从桌上跳起来。
看上去，一个镜头盖掉在了地上。现在看下一张图。
图16–1
现在，想一想爬山。不论你爬到多高的高度，地球表面都是崎岖不平的，即使到达3万英尺的高度还是一样。当你飞越阿尔卑斯山时，你会看到起伏的山峰而不是小石头。所以有些地表不属于平均斯坦，改变分辨率不会使它们看起来更平滑。（请注意，只有当你到达非常高的高度才会看到平滑的效果。我们的地球表面对太空中的观察者来说是平滑的，但这是因为它看上去太小了。假如从更大的行星观察，那上面有让喜马拉雅山看起来像侏儒的山峰，而观察者必须站在更高更远之处，才会觉得看起来平滑。同样，如果地球拥有更多人口，但平均财富不变，很可能有某个人的净资产大大超过比尔·盖茨。）
图16–1和图16–2演示了如上情形：看图16–1的人会以为图上是一个掉在地上的镜头盖。
回想一下英国海岸线。如果从飞机上看，它的轮廓不会与你在海边看到的有很大差别。尺度的改变并没有改变形状或者平滑度。
图上物体实际上并不是镜头盖。这两张照片演示了尺度不变性：地表是分形的。把它与人造物相比较，比如汽车或房子。
资料来源：斯蒂芬·W·惠特克罗夫特教授，内华达大学，里诺市
图16–2
明珠暗投
分形几何学与财富分配、城市规模、金融市场收益、战争死亡率或行星大小有什么关系呢？下面让我们把点连成线。
这里的关键是分形的数字或统计方法（在某种程度上）对不同的尺度都适用，比率是不变的，与高斯分布不同。图16–3演示了另一种自相似关系。我们在第十五章看到，巨富与一般富人是相似的，前者只是更富而已。财富是独立于尺度的，或者更精确地说，财富对尺度的依赖性是未知的。
20世纪60年代，曼德尔布罗特向经济学界提出了关于商品和金融证券价格的观点，所有的金融经济学家都无比兴奋。1963年，时任芝加哥商学院院长的乔治·舒尔茨邀请他担任教授。乔治·舒尔茨后来成为罗纳德·里根政府的国务卿。
图中全部16个小部分的不均等性是相同的。在高斯世界，当你从更高的角度看时，财富（或任何其他变量）的不均等会下降，亿万富翁之间的均等性高于百万富翁，百万富翁之间的均等性高于中产阶级。简而言之，这种不同财富水平之间的不均等性是一种统计知相似。
图16–3 纯粹的分形统计
舒尔茨一天晚上又打电话来取消了邀请。
在我写这本书时，已经过了44年，经济学和社会科学统计学领域没有发生什么大事，只有一些微不足道的粉饰文章把世界当成只受温和随机性影响来处理，但诺贝尔奖照发不误。一些不懂曼德尔布罗特中心思想的人写了一些文章“证明”曼德尔布罗特的错误，你总是可以找到“确证”相关过程为高斯随机过程的数据，因为总有不发生稀有事件的时期，就像你总能找到一个谁也没有杀谁的下午用来“证明”人们的无辜。我要重申，由于归纳的不对称性，就像人们更容易否定无罪而不是承认无罪一样，人们更容易抛弃钟形曲线而不是接受它；反过来，人们更难以抛弃分形理论而不是接受它。为什么？因为一个事件就能否定高斯钟形曲线的论断。
简而言之，40年前，曼德尔布罗特把珍珠交给经济学家和喜欢造简历的市侩，却被他们抛弃了，因为这些观点好得让他们无法接受。这真可谓明珠暗投。
在本章余下的部分，我将解释为什么我能用曼德尔布罗特分形理论描述大量的随机性，却不必承认它的精确应用的原因。分形能够充当默认环境、近似和框架。它不能解决黑天鹅问题，也不能把所有的黑天鹅现象变为可预测事件，但它极大地淡化了黑天鹅问题，因为它使这些大事件更易于理解。（分形理论把它们变成灰色。为什么是灰色？因为只有高斯现象能给你确定性。之后我会更详细地解释这一点。）
