萨缪尔森的逻辑是这样的：假设布朗同意打100次赌，但在打了99次赌以后，萨缪尔森问他是否想停止，也就是说，布朗可以选择打或不打最后一次赌。布朗会怎么做呢？我们知道他不喜欢只打一次赌，所以他会选择拒绝。现在，假设打了98次赌以后，我们告诉他最后两次赌博都是可以选择打或不打的。布朗会怎么做呢？作为一位训练有素的经济学家，他会使用倒推法。他知道，如果可以对第100次赌博进行选择，他会拒绝，并意识到第99次赌博也是单一可选的，所以他也会拒绝。但是，如果你继续用这种逻辑进行推算，结果就是布朗也不会打第一次赌。所以，萨缪尔森的结论是：如果你不愿意打一次赌，就也不会愿意打很多次赌。
这一结果十分惊人。如果输掉100美元的概率是50%，尤其是在20世纪60年代初，100美元相当于现在的750美元，拒绝打赌其实是合理的。愿意为玩硬币而承担输钱风险的人并不多，即使赢来的钱会是输掉的钱的两倍，也是如此。虽然100次赌博的期望收益看起来很有吸引力，但萨缪尔森对拒绝打赌100次的推理也是无懈可击的。他在另外一篇简短的论文中再次阐述了这一观点：“如果某件事做一次不划算，那么做两次、三次……多少次也都是不划算的。”[5]这是什么意思呢？
萨缪尔森不仅指出他的同事犯了一个错误，还在一篇论文的题目中给出了解释，即“风险与不确定性：大数谬误”（Risk and Uncertainty: A Fallacy of Large Numbers）。在萨缪尔森看来，布朗接受100次赌博是一个错误的选择，原因在于布朗没有理解“大数定律”（the law of large numbers）这一统计学原理。大数定律指出，如果你重复打赌的次数足够多，结果将与期望收益十分接近。如果你抛1 000次硬币，正面朝上的次数应该接近500次。所以，布朗认为，若重复打赌100次，他就不大可能会输钱，这种想法是正确的。事实上，他输钱的概率仅为1/2 300。萨缪尔森认为布朗的错误在于他忽视了输很多钱的可能性。如果你只赌一次，有50%的概率会输，但最多输100美元。如果赌100次，虽然输的概率很小，但你必须承认确实有极小的概率会输掉10 000美元，即抛硬币100次都是背面朝上。
我和什洛莫对这个问题的看法是，萨缪尔森只说对了一半，即他正确指出他的同事布朗犯了一个错误。在萨缪尔森看来，拒绝一次赌博但却接受很多次并不符合逻辑。但是，我们认为布朗的错误其实在于他拒绝了一次性赌博，原因正是狭窄框架问题。萨缪尔森认为布朗接受100次赌局是错误的选择，平均来说，布朗如果接受100次赌局，期望收益将是5 000美元，他输钱的概率很小，输很多钱的概率更小。具体而言，输钱超过1 000美元的概率大约为1/62 000。我和雷宾曾在“反常现象”专栏中写过这方面的文章：“如果拒绝这种赌局，负责任的律师会正式宣布你有精神病。”如果拒绝100次赌博是愚蠢的行为，那么萨缪尔森的论点正好应该反过来，一次赌博也不应该拒绝。我和什洛莫把这种现象称为“短视型损失厌恶”（myopic loss aversion）。要想接受100次有吸引力的赌博，必须先接受第一次赌博。只是因为把每一次赌博分开来看，才落入了拒绝一次性赌博的圈套。
这种逻辑也适用于投资股票和债券。让我们回想一下股权溢价之谜，如果人们预期股票的回报率每年都不少于6%，又为什么要持有那么多债券呢？我们的回答是，他们在投资上过于短视。如果股票的投资回报率不低于6%，从长期来看，比如二三十年，股票收益低于债券的概率很小，就像在萨缪尔森最初设定的100次赌博中输钱的概率一样（虽然概率可能没有那么低）。
为了验证这一假设，我和什洛莫邀请南加州大学的非教学科研工作人员做了一次实验。这些员工加入了退休金计划，他们必须决定退休金的投资方式。在美国，这种退休金计划常被称为401（k）计划，其名称源于税法法典相关条款的序号。我们告诉每位实验对象，退休金只有两种投资方式，一种风险较大但预期回报率较高，另一种风险较小但预期回报率也较低。同时，我们给实验对象看了两种基金的回报率走势图，图表是在过去68年的回报率基础上制作的。风险较大的基金是一些指数型基金，而风险较小的基金是债券基金。但为了避免实验对象对股票和债券有先入为主的想法，我们并没有告诉他们这一细节。
我们这次实验的焦点在于回报率的呈现形式。如图9所示：第一种情况，实验对象看到的是一年的回报率走势图，第二种情况，实验对象看到的是模拟出的30年回报率走势图。第一种情况其实和人们每年看一次退休金对账单一样，而另一种情况则与人们为期30年的长期投资策略一样，投进去后似乎就忘到脑后了。注意，两幅图表使用的数据完全一样。也就是说，在经济人的眼中，这两幅图表之间的差异属于看似无关的因素，不会影响他们的选择。
图9
资料来源：贝纳奇和塞勒（Benartzi and Thaler），1999
对普通人而言，数据的呈现方式对他们影响很大。仅能看到一年回报率走势图的实验对象选择将40% 的钱投到股票中，而那些看到30年的年均回报率走势图的实验对象则将90%的钱投到了股票中。萨缪尔森认为，人们会高估重复性对降低风险的影响。而实验结果恰好相反。事实上，当人们看到真实数据后，他们更喜欢风险大的投资方式。
从这一分析中我们可以看出，人们越是经常查看自己的投资收益，越不愿意承担风险，原因在于，查看的次数越多，看到的损失也越多。实际上，我、卡尼曼和特沃斯基也研究了这个问题，由此产生的是唯一一篇我们三人合写的论文。卡尼曼当时的学生艾伦·施瓦茨（Alan Schwartz）也是合著者之一，他现在是位于芝加哥的伊利诺伊大学的医疗决策教授。那篇文章于1997年刊发在纪念特沃斯基的《经济学季刊》特刊上。
那篇论文记录了一项实验，实验对象是加州大学伯克利分校的学生，他们在实验中的工作是扮演大学捐赠基金的投资经理，负责基金的投资事宜。当然，他们只是扮演投资经理的角色，但实验结束后他们能拿到多少钱确实与他们的投资情况有关。他们的收入将在5美元到35美元之间，在不到一个小时的时间里可以赚到这样一笔钱，对大学生来说已经不少了。正如之前的实验一样，实验对象只有两种投资策略可选择，一种是高风险高回报，另一种是低风险低回报。在这次实验中，我们的变量是实验对象查看投资结果的次数。有些实验对象在实验模拟出的一年时间里查看了8次，有些实验对象则一年看一次或每五年看一次。正如短视型损失厌恶理论所预测的，查看投资结果次数越多的人敏感性越高。那些一年查看8次结果的实验对象仅将40%的钱投资到股票中，而一年只看一次的实验对象则将70%的钱投入股票。
