零和博弈
在“胜者通吃”的博弈中，收益表的每个格子中都存在一个赢家和一个输家。在下面的例子中，两位玩家同时移动桌子上的扑克牌，结果如表F3—8所示。
表F3—8 玩家收益
这种博弈不存在纯策略纳什均衡——双方都不可能同时获得最大收益。但是，我们现在来看混合策略均衡。双方基于特定的概率做出选择。（我们再次假设博弈有很多轮。）他用抛硬币的方法决定向上还是向下。结果是，他随机选择每个选项的概率都是50%。所以她向左的期望收益就是：
EP左=（0.5）（-3）+（0.5）（1）=-1
向右，她的期望收益为：
EP右=（0.5）（2）+（0.5）（0）=1
所以，如果他掷出无偏硬币来决定向上还是向下，她就应该采取向右的纯策略，因为这样的期望收益大于向左的。既然他知道这些，就不会用掷硬币的方法随机选择了。
就像我们看到的这样，博弈论的分析让我们可以用代数的方法计算怎样才能得到理想的纳什均衡。我们又找到了博弈者在对手采取纯策略时的无差别点。他向上的概率变成了我们需要求解的未知数σ上。如果他向上的概率是σ上，我们就知道他向下的概率必然是（1-σ上）。所以我们可以计算出另一位玩家（“她”）的期望收益：
EP左=（σ上）（-3）+（1-σ上）（1）=-4σ上+1
EP右=（σ上）（2）+（1-σ上）（0）=2σ上
我们现在要设EP左=EP右来找到让她可以不在乎他作何选择的σ上。得出等式：
EP左=EP右
-4σ上+1=2σ上
1=6σ上
σ上=1/6
总结，如果他向上的概率是1/6，向下的概率是5/6，她无论怎样选择都可以达到同样的期望收益。他采用这种混合策略时，她向左还是向右都不会得到更高的分数。
现在让我们跳过这些来从她的角度看他的收益。为了能让他在她的混合策略面前随意选择，她向左的概率是σ左，向右的概率是（1-σ左）。我们从他的期望收益开始：
EP上=（σ左）（3）+（1-σ左）（-2）=5σ左-2
EP下=（σ左）（-1）+（1-σ左）（0）=-σ左
接着，我们用这个等式找到他达到无差别点时的概率σ左：
EP上=EP下
5σ左-2=-σ左
6σ左=2
σ左=1/3
我们发现如果她向左的概率是1/3，向右的概率是2/3，那么她的混合条件策略选择对他没有影响。
当我们把他们双方的混合策略联系起来，就得到了这个博弈的混合策略纳什均衡。所以即使没有纯策略纳什均衡，博弈中也可以有混合策略纳什均衡。
这种混合策略也会影响婚恋关系。婚恋关系中的行为也是频繁且有一定概率的交易。即使当纯策略博弈不能解决时，博弈中也可以有纳什均衡，这真是个好消息。这样我们就可以把它应用到婚恋关系中，判断是接受还是拒绝做爱的邀请。
