三段论（syllogism）是有两个前提的演绎论证。直言三段论（categoricalsyllogism）（标准形式）是由三个标准的直言判断构成的三段论，并且这三个判断中包含三个词项，每个词项都正好出现两次。下面的例子：
所有的美国人都是消费者。
有的消费者不是民主党人。
因此，有的美国人不是民主党人。
注意其中三个词项“美国人”“消费者”和“民主党人”都正好出现两次。三段论中的这三个词项分别被称为：
大项：三段论结论中的谓项。
小项：三段论结论中的主项。
中项：在两个前提中出现但不出现于结论的词项。
这三个项最常用的符号是，大项是P，小项是S，中项是M。为简化讨论，本书一直如此使用这些符号。
在直言三段论中。每一个前提都陈述了中项与小项或大项之间的关系，就像图8-6表明的那样。如果两个前提的确起到了作用——即前提中通过中项M建立了小项S与大项P之间的正确联系——那么，结论陈述的S和P之间的关系就能从中推出——即论证是有效的。
图8-6 直言三段论词项间的关系
如果不明白有效性这个概念，那么请记住：一个论证是有效的，当且仅当不可能出现它的前提为真而结论为假的情况。换句话说，一个有效论证如果其前提为真（无论实际上它们是真还是假），那么，可以保证其结论为真。
请看下面3个例子，其中只有一个是典型直言三段论。你能辨认出是哪一个吗？另两个为什么不是呢？
1.所有的猫都是哺乳动物。
并非所有的猫都是驯养的。
因此，并非所有的哺乳动物都是驯养的。
2.所有有效论证都是好的论证。
有的有效论证是无聊的论证。
因此，有的好的论证是无聊的论证。
3.委员会中有的人不是学生。
委员会中所有的人都是本地人。
因此，有的本地人是非学生。
现实生活
有的有，所以，有的没
“因为有的蚊子携带西尼罗河病毒，所以，有的蚊子不带。”这类论证的结论（“有的不”）或许是对的，但它不是从前提推出来的，它可能是假的。
另一种推理：“有的蚊子不带西尼罗河病毒，所以，有的蚊子携带。”也是无效的。合乎规则地从O判断得出I判断的唯一方式是通过换质而得到。
显而易见，例2是典型的三段论。例1中的第二个前提和结论都不是标准的直言判断。标准的直言判断句首不是“并非”；并且，标准的直言判断谓项必须是名词或名词短语。把例1的第二个前提转换成“有的猫不是驯养的动物”，把其结论应该转换成“有的哺乳动物不是驯养的动物”，就是典型的三段论。例3的结论中包含了一个在前提中从未出现过的词项：“非学生”。既然“非学生”是“学生”的补词项，通过把结论转换为“有的本地人不是学生”，转换后的论证就是典型的三段论。
继识别三段论之后，就要学习如何判定其有效性了。我们先介绍第一种方法，也就是用文恩图检验。随后介绍另一种方法，即用规则检验。
8.3.1 用文恩图检验三段论的有效性
用文恩图表示三段论需要三个相互交叉的圆圈，每一个圆圈都代表论证中的一个词项类。为了更有系统性，在图表中，我们把小项放在左边，大项放在右边，中项放在中间略低一些的位置。我们将一步一步地用图表示下面的三段论：
没有共和党人是集体主义者。
所有的社会主义者都是集体主义者。
因此，没有社会主义者是共和党人。
在这个例子中，“社会主义者”是小项，“共和党人”是大项，“集体主义者”是中项。请看图8-6，当中有三个圆圈，分别标明了它们所代表的词项类。
图8-6 未标明前提
就像之前用图表来表示A、E、I、O判断一样，我们用图表表示正在讨论的论证的前提。
首先标出：没有共和党人是集体主义者（见图8-7）。注意在这张图中要将共和党人和集体主义这交叉的全部区域涂上阴影。
图8-7 标明一个前提
其次标出所有的社会主义者都是集体主义者（见图8-8）。标出这个前提的结果是：社会主义者和共和党人交叠的全部区域都是阴影。而这和用图标出三段论的结论的结果相同。由此可以得出：这个三段论是有效的。一般地说，一个三段论是有效的，当且仅当用图标出前提能自动生成一个正确的描述结论的图表（稍后我们将指出一种例外）。
图8-8 标明两个前提
当三段论的一个前提是I判断或O判断时，把特定的X放在哪里就可能成为问题。下面的例子表现的就是这样的问题（见图8-9）。
图 8-9
请注意在图中我们已经给不同的区域编了号，以便更容易指认。
在图8-9中，区域1或2中的一个X就使得判断“有的S不是M”为真，因为在这两个区域中任意一个对象都是S而不是M。我们怎样才能确定到底哪个区域应该有X呢？在一些例子中，我们可以这样做：当一个前提是A或E判断，另一个前提是I或O判断时，就先用图把A或E前提表示出来。（在标出X之前，先要涂出阴影区域。）参考图8-10来看看在本例中遵循此规则画图。
图 8-10
一旦用图标出A前提，就不必担忧X该标在何处——它必须在区域1里。因此，这个论证的完整图表就如图8-11所示。从这个图中，我们能看出结论“有的S不是P”，这就告诉我们这个论证是有效的。
图 8-11
在一些三段论中，上面提到的规则并没有帮助。例如：
对于这样的三段论，我们即使用图表示了A前提后（见图8-12），仍然拿不准在哪里标出X。应该把X标在区域4还是区域5呢？解决这个问题时，可以遵循如下规则：如果一个X可能处于两个区域中的任意一个里，就把它标在两个区域的分界线上，就像图8-13那样。
图 8-12
图 8-13
实际上，把X标在一条线上，表明X可以属于两个区域中的任意一个，或者同时属于两个区域，但是不能确定到底是哪个区域。在看这个文恩图可否得出结论的时候，就要看可否完全确定X落在特定的区域内。本例中，就要看可否完全确定X落在S和P交叉的区域里；由于不能这样确定X，所以，本论证是无效的。X或许处于特定的区域，就表示不能有效地推出结论。
请注意，在文恩图解中，当三段论的两个前提都是A或E判断，而结论是I或O判断时，前提的图解可能得不出结论的图解（因为标注A和E判断需要涂上阴影，而I和O判断需要在图表中标注X）。遇到这种情形时，请记住我们的假设，每一个词项类中都至少有一个成员。这个假设就需要我们观察图，圆圈中是否尚存没涂上阴影的部分。如果某圆圈中只有一个区域没涂上阴影，那么X就应该标在该区域内。因为该类别中的所有成员都必须落在剩下的区域中。有时候，用这种方法标出X，就能够让我们读出结论，说明论证是有效的（假设相关的类不是空的）；有时候，无论是否假设词项类为非空，按这种方法标出X都不读出准确的结论，说明论证是无效的。
8.3.2 含有未表达前提的直言三段论
“实际生活”中的许多直言三段论中都含有未陈述的前提。假如有人说：
“你不应该把鸡骨头丢给狗。它们会卡住狗的喉咙的。”
说话者的论证建立在一个未陈述的前提之上，即“你不应该把那些会卡住喉咙的东西丢给狗”。换句话说，完整的论证应该是：
所有的鸡骨头都是会卡住狗喉咙的东西。
[会卡住狗喉咙的东西不是你该给狗的东西。]
因此，鸡骨头不是你该给狗的东西。
方括号里就是未陈述的前提。再举一例：
“开旧车兜风是愚蠢的，因为它可能在危险的地段出故障。”
此处说话者的论证中包含未表达的前提，即“冒汽车出故障的危险是愚蠢的”。即完整的论证应该是：
开旧车兜风都是冒汽车出故障的危险。
[冒汽车出故障的危险都是愚蠢的。]
因此，开旧车兜风都是愚蠢的。
若给定的论证像直言三段论，而它只有一个前提时，通常第二个前提就是被假设的，但却没有表达出来。通常情况下，不表达这个前提，是因为表达者认为这是显而易见的，表达出来反而显得累赘。上面的论证就说明了这一点：“你不该把会卡住喉咙的东西丢给狗”以及“冒汽车出故障的危险兜风是愚蠢的”就没有明确表达出来的必要。
遇到省略了一个前提的直言三段论时就要问：能否找出一个合理的假设使得这个论证有效？在本书第2章中我们曾详细讨论了未表达前提的问题，请参阅相关内容。
8.3.3 实际生活中的三段论
为了方便检验实际生活中的三段论，这里介绍一种简化表达实际生活中三段论的方法，即用字母分别表示论证中所提到的范畴。上文刚提及的两个实际生活的三段论的简化表达如下：
前一论证：C=鸡骨头D=卡住狗喉咙的东西S=不该给狗的东西
所有的C都是D
[没有D是S]
所以，没有C是S
后一论证：D=开旧车兜风R=冒车出故障的危险S=愚蠢的事
所有的D都是R
[所有的R都是S]
所以，所有的D都是S
现实生活
最常用的三段论
最常见的三段论的形式为：
实际生活中运用这种推理的实例有些明显，有些则较难识别。如，“这首歌是小三和弦，因为都是降三调，降三调当然就是小三和弦。”再如：“吉姆下周将节食，到时候他的脾气会很坏。他每次节食时都脾气坏。”
现实生活
较常用的三段论
除了上面提到的三段论形式之外，实际生活中较为常用的三段论形式还有：
例如，“鸡蛋和牛奶都是动物制品，素食主义者不吃任何动物制品，所以，素食主义者不吃鸡蛋和牛奶。”
现实生活
布诺迪！
“水獭猎犬都很友好，喜欢其他狗，爱叫，喜欢追逐猫。”
“布诺迪就是这样的！布诺迪一定是水獭猎犬。”
爱狗的人，别急着下结论，我们先来看看论证：
所有的水獭猎犬都很友好，喜欢其他狗，爱叫，喜欢追逐猫。
布诺迪很友好，喜欢其他狗，爱叫，喜欢追逐猫。
所以，布诺迪是水獭猎犬。这个论证的形式是：
所有的A都是X。
所有的B都是X。
所以，所有的B都是A。
学习了这一章之后你就会发现这个论证是无效的。这个论证就像如下论证，“哈佛毕业生都是温血动物，布诺迪是温血动物，所以，布诺迪是哈佛毕业生。”
拓展
其他常见的无效论证形式
除上述布诺迪方框中提到的无效论证的形势较为常见以外，还有一些常见的无效论证形式：
所有的A都是X。
没有A是Y。
所以，没有X是Y。
所有X都是Y，所以，所有的Y都是X。
有的X不是Y，所以，有的Y不是X。
有的X是Y，所以，有的X不是Y。
有的X不是Y，所以，有的X是Y。
为了避免运用这些无效论证，建议你找出上述论证形式的实例，并和同学交流。
8.3.4 用规则检验三段论的有效性
用文恩图检验三段论的有效性虽然直观，但更便捷的方法是通过三条规则来检验。这些规则建立在两个概念之上，第一个概念前面已经提到：肯定和否定的直言判断（请记住，A判断和I判断是肯定判断；E判断和O判断是否定判断）。另一个概念是周延。直言判断的词项要么是周延的要么是不周延的，这决定于该判断是否陈述了某词项类的每个成员。在标准形式的四种直言判断中，有三种判断中含有一个或更多的周延词项。在图8-14中，画圆圈的字母代表周延的词项，未画圆圈的字母代表不周延的词项。正如图8-14表明的，A判断的主项是周延的，O判断的谓项是周延的，E判断主项和谓项都是周延的，I判断主项和谓项都不周延。
图8-14 周延的项
检验三段论是否有效的三条规则是：一个三段论是有效的，当且仅当它满足下述所有三个条件。
1.前提中的否定判断数量必须和结论中否定判断数量一样（结论由一个判断构成，这就意味着一个有效的三段论不会有两个否定的前提）。
2.中项在前提中至少周延一次。
3.任何在结论中周延的词项必须在前提中也是周延的。
这些规则很容易记住，稍加训练你就能利用它们迅速判断一个三段论是否有效。
下例违反了哪一条规则？
“键盘乐器演奏者”是中项，在两个前提中它都是不周延的。第一个前提是A判断，谓项不周延；第二个前提是O判断判断，主项不周延。所以这个三段论违反了规则2。
再看一例：
这个三段论违反了规则l，因为它有一个否定前提，而结论却是肯定的。
最后一个例子：
小项“债权人”在结论中是周延的（它是E判断的主项），但是在前提中却不周延（它是A判断的谓项）。所以，这个三段论违反了规则3。
现实生活
愚昧、笨蛋、游戏狂人和网虫
这张文恩图在网络很流行。它以调侃的方式（在我们看来）表达了人们在如下三种不同特质方面的分类：智力、社会适应性和迷恋。你可以像本章介绍的那样来阅读上图（如：愚昧就是这样一类人：他们有理解力、能适应社会但从无困扰）。
本章总结
·直言判断有四种标准形式A、E、I和O。
·可用文恩图画出四种标准形式的直言判断。
·可以把日常语言的表达转换成标准的直言判断。
·对当方阵图表达了相对应的直言判断间的逻辑关系：矛盾关系、反对关系和下反对关系。
·直言判断间可以进行3种运算：换位、换质和换质位，其中一些和原判断等值，另一些不是。
·直言三段论是否有效可以通过文恩图检验，也可以通过规则来检验。
