对当方阵告诉我们一些简单的直言判断的有效推理。下面我们将介绍另外三种简单的直言判断间的有效推理（推理就是运算）。当我们把这三种直言判断的运算和对当方阵推理联合起来运用时，推理就不再简单了。
8.2.1 换位
在标准形式的四种直言判断中，若改变主项和谓项的位置而其他不变，E判断和I判断在换位（converse）前后表达的信息相同，而A判断和O判断换位前后所表达的则不同。也就是说：
对E判断和I判断进行换位，换位前后的判断相互等值；而对A判断和O判断进行换位，则换位前后的判断不等值。
下面的每对判断间都是换位关系：
E：没有挪威人是斯拉夫人。
没有斯拉夫人是挪威人。
I：有些国家的首都是大城市。
有些大城市是国家的首都。
不难发现，换位前后等值的那些判断的文恩图都是相互对称的。
8.2.2 换质
为介绍下面两种运算，我们先来了解一些概念。首先是论域概念。人们通常都在特定的语境中提出主张，这就为我们使用的术语设定了范围。比如，如果你的老师走进课堂说：“上次的考试每个人都及格了。”“每个人”这个词项并不是指世界上的每一个人。你的老师不是说你的母亲和美国总统考试及格了。表达中虽然没有明示，但显然对“人”的范围有所限定，指的是“你们班上参加考试的人”。因此，对在论域范围内的每一个类而言，都有一个与之互补的类。补类指称论域中并不包含在前一类别中的对象。表达该互补类的词项是原词项的补词项，通常以在原词项前加“非”来表达。如“非学生”是“学生”的补词项（complementary terms）。尽管加前缀“非”是表达一个词项的补词项的简易方法，但有时候需要我们区别对待。上例中“参加考试的人”的补词项最好表达为“没参加考试的人”[1]。因为这里的论域显然是“人”（我们不会认为“参加考试的人”的补词项为“没参加考试的任何事物”，如你叔叔鲍勃的假发）。
对判断进行换质（obversion）是指：（a）把它从肯定判断变成否定判断，反之亦然（也就是，正方形水平线两端的判断之间的变换，A判断变成E判断；O判断变成I判断，等等）；（b）把谓项变成原判断谓项的补词项。
四种直言判断，A、E、I和O，换质前后的判断是相互等值的。
下面的每对判断间，每一个都是另一个的换质判断：
A：所有的长老会教友都是基督教徒。
没有长老会教友是非基督教徒。
E：没有鱼是哺乳动物。
所有的鱼都是非哺乳动物。
I：有的市民是选民。
有的市民不是非选民。
O：有的参赛者不是获胜者。
有的参赛者是非获胜者。
[1] 在英语中这个表达是对动词“参加”进行否定，所以不同于在名词前加“非”，但汉语中这种区别不明显。——译者注
8.2.3 换质位
对直言判断进行换质位（contraposition）是指，（a）像换位法一样调换主项和谓项的位置；（b）分别用补词项来替代原判断的词项。下面每对判断中的一个都是另一个的换质位判断：
A：所有的蒙古人都是穆斯林。
所有的非穆斯林都是非蒙古人。
O：有的市民不是选民。
有的非选民不是非市民。
所有的A判断和O判断换质位前后都是等值的，但E判断和I判断换质位前后不等值。
换位、换质和换质位这三种运算对很多后面的学习非常重要，所以要确保自己能正确运算，并准确知道哪些判断之间相互等值。
拓展
三种运算的文恩图
换位：解释换位法只需借用常规的文恩图。
对于I判断，“有的S是P”，只要在S和P交叉的区域填写X。而该判断换位后，“有的P是S”的图形依然不变。这就说明了I判断换位的有效性。对于E判断换位的图解也说明其换位的有效性，只是在E判断的图中S和P交叉的区域需要涂上阴影。
对于A判断，“所有的S都是P”，其文恩图需要把属于S但不属于P的区域涂上阴影，而对于其换位判断“所有的P都是S”，则需要将属于P但不属于S的区域涂上阴影。换位前后的判断文恩图的变表明A判断不能有效的换位。
解释另外两种运算需要更复杂的图形。让我们用一个矩形方框来代表论域。方框中包括所说的类及其补类。除S和P之外，用表示S的补类，用表示P的补类。
换质：要在上面的图表表达一个A判断，所有S都是P。我们应该把S所在区域（不属于谓项类的所有主项类）涂上阴影，现在思考它的换质判断，没有S是。因为这是一个E判断，我们把主项和谓项重叠的地方涂上阴影。结果是，我们给换质判断涂上阴影的部位和原判断居然一样！所以，它们是等值的。如果你检验一下，就会发现其他3种判断也同样如此，因为换质法对4种判断都有效。
换质位：给图表的S领域涂上阴影就表明：A判断“所有的S都是P”是真的。思考该判断的换质位判断，所有的P都是S，给其谓项之外的所有主项涂上阴影得出的图表也和原来是一样的，这表明它们是等值的。试着用图表表示O判断和它的换质位判断，你会发现在两个图表中都把X放置在同一个区域。
但是，如果用图表表示I判断，有的S是P，把X放在中间的SP领域，然后用图表表示它的换质位判断，有的P是S，你会发现换质位之后的X不得不完全在两个圆圈之外，因为这是P和S交叉的唯一区间！显然，这和原来的I判断所表达的不同。如果思考E判断，你会发现相类似的结果。对I判断或E判断来说，不能有效地换质位。
