长期以来，在人类生育力问题上，研究者们意识到某个家庭生育的子女数量与这些子女公认的“质量”之间存在某种特殊关系，人们只要注意一下在截面分析数据和时间序列数据中经常观察到的每个家庭子女数量与质量之间的负相关关系就够了。有的学者（Becker, 1960）10多年前就强调了子女数量与质量之间相互作用对于理解生育力（生育数量）的重要性，我们高兴地注意到，这种相互作用为绝大多数文章所强调，尤其为迪特雷和威利斯的文章所强调。
某些经济学家认为，常见的子女数量与质量之间的负相关是家庭效用函数中父母的消费或生活水平与他们子女的消费或生活水平之间较低的替代弹性造成的（Duesenberry 1960; Willis, 1969）。迪特雷的分析尽管有所不同，但做了同样的关于效用函数和家庭生产中数量与质量的替代方面的特殊假定。
在这里，我们试图说明，即使不作这样一个假设——即认为在效用函数或家庭生产中，和任选的两种商品之间的关系相比，数量和质量更密切地相联系——我们还是能对数量和质量之间相互作用的数据及数量和质量自身的数据达成深刻的理解。继起的“分析”不是尽善尽美的，其主要原因在于，只是近些时候我们才发展了这方面的分析。
我们分析的中心是，相对于数量的子女的影子价格（即，假定质量不变，增加一个子女的成本）愈高，子女的质量就愈高，类似地，相对于子女质量的影子价格（即，假定数量不变，质量增加一单位的成本）愈高，子女的数量就愈多。而且，还可以说，家庭消费的其他商品也具有这样的性质，然而，为了简化本文的分析，我们只对子女做数量—质量的区分。为了说明推理过程，特规定下面的简化的效用函数：
这里，n表示子女数量，q表示子女质量（假定所有子女的质量相同），y表示所有其他商品的消费比率。从下面的简单的预算限制着手分析
这里，I表示充分收入，π表示nq的价格，πy表示y的价格，对于构成π的基础的效用函数或家庭生产函数中的n，q，y之间的替代弹性我们不做任何特别假定。
使受预算限制的效用函数极大化的一阶条件是：
这里，MU表示边际效用，p表示边际成本或影子价格，λ表示货币收入的边际效用，这里的关键在于，相对于数量的子女的影子价格（pq）与子女质量q正相关，相对于子女质量的影子价格与子女数量n正相关；经济意义上的解释是，如果存在较多的子女，那么，由于质量的增加分散于更多的单位，所以这部分增加就变得更为昂贵；类似地，如果子女的质量较高，那么，由于较高质量的子女需要更多的花费，所以数量的增加也更为昂贵。
从关于数量与质量的几处文献中（Houthakker, 1952; Theil, 1952; Becker, 1960；及Willis在本卷中的文章）可以找到均衡条件（3）式及其二阶条件，但对数量与质量而言的收入效应与价格效应的许多重要含义显然尚待探讨。
收入效应
令子女数量（n）与质量（q）及其他所有商品（y）的需求的“实际”收入弹性分别为ηn、ηq及ηy。这些弹性可以在n、q和y的“价格”保持不变的条件下通过改变“收入”这一常用方法得到。为此目的，利用影子价格（边际成本）pn、pq及py是适当的，在均衡位置其比率〔见（3）式〕等于效用函数中的边际替代率。适当的收入概念是按这些影子价格计算的用于n、q及y的总“支出”；就是说，为此目的，收入的正确的计量是
实际收入弹性的平均值为1，这是众所周知的，亦即：
然而，考虑到、及表示的“观察”到的收入弹性，当π和πy保持不变时，通过改变I可以获得这些弹性。考虑（2）式的预算限制和（3）式中p的定义，可直接得到，观察到的收入弹性的简单加权平均数为I/R=I/（I+nqπ），它小于1，亦即
也就是说，一般而言，在比例I/R中，观察到的弹性小于实际弹性。对这种向下的偏差的经济意义上的解释很简单。保持π不变而非p不变，那么，I增加的直接效应一般是增加n、q及y，然而，n与q的增加引起影子价格pn与pq上升，因此，由于可以被p的指数压小的缘故，实际收入的增加百分比低于货币收入I的增加百分比。
这种货币收入增加的价格效应有些类似于工资率的上升造成的货币收入增加所产生的价格效应。用比例表示，这种增加在实际收入方面低于货币收入方面，这是因为，时间价值的增加提高了家庭中的商品生产成本（Becker, 1965）。[1]
不妨假定，相对于质量的实际收入弹性（ηq）远远大于相对于数量的实际收入弹性。由于观察到的弹性存在向下的偏差和对价格的影响，所以，即使实际弹性（ηn）非负，观察到的数量弹性也可能为负。为了简便起见，假定ηn=0；令收入I增加而π和πy保持不变，I增加的直接效应是q（和y）增加而使n保持不变，但这时相对于数量的影子价格（pn=qπ）将上升而质量的影子价格（pq=nπ）与y的影子价格（py=πy）保持不变，这将引起q与y对n的替代，因而n将减少。
更一般地说，当效用函数和预算限制由上面（1）式和（2）式给定时，数量与质量的观察到的收入弹性与下面的相应的实际弹性相关[2]：
这里
δ表示为人熟悉的效用函数的艾伦部分替代弹性；表示δ的平均值，它们必定为正；由二阶条件，D与（1-kδnq）为正。（7）式证实，即使当实际数量弹性（ηn）为正时，观察到的数量弹性也可能为负，而且，如果像我们假定的那样，ηq＞ηn，那么，除非q对y的替代大大优于n对y的替代，否则，，这是因为，由（7）式和（8）式有
而且，大于的程度可能超过ηq大于ηn的程度，就是说，的向下的偏差可能低于的向下的偏差。当δnq=δny=δqy=δ时，这种情况显而易见。于是，取值为正的D等于（1-δ）［1-δ（1-2k）］且=（1-k）（ηq-ηn）/（1-δ），因而，如果δ＞k，那么，。实际上，通过假定ηn=0和δnq=δny=δqy=δ，由（7）式与（8）式或许可以看到，甚至可能超过ηq。于是
假使，，那么将大于ηq。
即使ηn为常数，由于不仅取决于ηn，而且取决于替代弹性和货币收入I〔nqπ/I=k/（1-k）〕中的nqπ的份额，所以未必也是常数。例如，如果ηq随收入I上升而下降——不妨这样假定，那么，将倾向于随收入上升，即使ηn为常数时也上升，而且，当然，ηn可能随收入而增加，造成的增加。实际上，收入水平较低则可以为负，收入水平较高则为可以正，在一些生育力数据中可以看到这种变化类型。[3]
价格效应
在分析价格效应之前，我们对（2）式的预算限制稍加推广，形如：
因而影子价格或边际成本现在为
n与q的这些影子价格均包含一个“固定”成分；pn中的πn，pq中的πq。子女成本中的成分nπn由依赖于数量而非质量的成本构成。例如，一个恰当的例子是避孕费用和怀孕费用（如产妇护理费）；类似地，成分qπq取决于质量而非数量，因而具有“公共产品”的特征，或者更确切地说是“家庭产品”，恰当的例子是家庭培训的某些方面以及某些衣服的“世代相传”。我们假定，固定成分对数量的重要性大于对质量的重要性，亦即，nπn＞qπq。
（一）首先考虑譬如由于外在的避孕技术的改进引起的πn的增加的净替代效应。由于这种增加将会提高既相对于质量的影子价格（pq）又相对于y的影子价格（py）的数量的影子价格（pn），所以，n会减少；但数量上的下降会降低质量的影子价格（pq=πq+nπ），这会导致有利于质量的替代；结果，不仅是数量将会下降，而且质量将会有相对较大的提高——即相对于其他商品而言——而并不需要假定数量与质量的替代优于任何其他随机选择的两种商品的替代。假使因某种因素譬如父母教育程度的提高而使πq下降，那么，结果也是一样。pq的下降导致质量的提高，这反过来导致数量的影子价格（pn=πn+qπ）的上升，因而导致数量的相对较大的下降。
所以，迪特雷发现，母亲教育程度的提高对子女的质量有显著的正面影响，对子女的数量有显著的反面影响；生育控制知识上的重要进步不仅可以显著减少子女数量，而且可以显著提高子女质量，这两项发现同前面所做的分析是一致的。由于质量的影子价格依赖于数量，数量的影子价格依赖于质量，所以数量与质量密切相关。我们重申，无须专门假定家庭生产或消费中的替代关系我们就能获得数量与质量之间的特殊关系。
（二）现在考虑假使工资率的上升引起的πn、πq及π的同等百分比增加的净替代效应。考虑极端的形式，假定πq=0和πn＞0。相对于πy=py的πn、πq及π的同等增加可以简单地视为πy=py的相对减少。如果n、q是y的不相上下的替代品，那么，py的下降起初会导致n、q的同等百分比的下降，然而，由于，n和q的同等百分比的下降会使pq的减少大于使pn的减少，所以n将相对于q减少。因此，相对于πn、πq及π的同等百分比变化的数量的补偿性收入弹性从数值上讲大于相对的质量的弹性。迪特雷发现，妇女工资率的上升会使子女数量的下降百分比远远超过子女质量的变化的百分比。
当然，对其他商品来说，如果数量的替代优于质量的替代——在我看来这是一项合理而又特殊的假定，那么，这种差异将会加剧。因为这时py的下降直接导致相对于q的n的下降，这会加速相对于pn的pq的下降。
因此，我们认为，观察到的数量的价格弹性超过质量的价格弹性，这同我们对观察到的收入弹性的认识刚好相反。[4]价格弹性与收入弹性的数量——质量排序的相反关系不仅在某种程度上令人感到意外，而且对于迪特雷及其他研究者的发现提供了一致的解释。
当然，我们的绝大部分分析不仅适用于子女数量与质量的相互作用，而且适用于汽车、住房、食物、茶叶、教育、出版物以及许许多多的其他商品的数量与质量之间的相互作用。数量与质量的观察到的价格与收入弹性在可预见的方向上不同于“实际”弹性。从本文的观点出发全面地分析与重新考察所有产品的数量与质量之间的相互作用不无裨益。
数学附录
具体描述的预算约束的（2）式和（10）式并非n和q的线性函数。正是由于这种非线性，才导致本文所讨论的“质量与数量间的互相作用”。
可以用直接的、流行的对预算约束及其一阶条件求微分的方法推导子女数量（n）和子女质量（q）的需求函数的弹性。由于预算约束的非线性，若采用直接推导方法计算弹性，很容易错失隐含于效用函数之中的收入弹性和替代弹性。因此，我们采用一种间接的方法，即利用需求理论中很常见的命题推导相关弹性。
首先，我们在（10）式给出的曲线预算基础上两边加nqπ使其变为平面：
其中，
根据预算约束中的非线性项nqπ区分两个收入项R和I。
定义
知道真实收入弹性（ηn，ηq，ηy）必须满足以下关系：
当π固定不变时，观察到的全部收入I变化时的收入弹性必须满足以下关系：
当π固定不变时，求预算约束（10）对I的对数微分，并利用（A3）式和（A4）式，可以证明（A6）式。因此，平均来讲，观察到的弹性小于真实弹性，用比率表示成1-k=I/R。
定义两个家庭的价格指数和，用下述微分形式表示
其中，E表示自然对数差分算符dln。
因为py=πy，pn=πn+qπ，和pq=πq+ηπ，有
将（A9）式代入（A8）式，再利用（A7）式得到
现在，对（A3）式求对数微分，有
（A11）式减去（A10）式：
当I增加时，固定π，实际收入以较小的比率1-k=I/R增加。这就是观察到的收入弹性较真实收入弹性偏低的经济学基础。
现在转向观察到的收入和替代弹性的微分分析。我们利用常见的命题
其中，σ，s为效用函数的艾伦偏替代弹性。注意到，表示n对y的平均替代弹性，表示q对n和y的平均替代弹性。
首先，在π固定时变动I，导出观察到的收入弹性和。由于π固定，通过（A9）和（A12）式，可得
将代入（A13）式，整理后得
解这两个方程
其中，根据二阶条件，D和（1-kσnq）必须为正。
对于收入效应，我们利用更简单的预算约束（2）而非（10），因此，假设kn=kα=k；当kn=kα=k；（7）式和（8）式就是（A16）式。当预算约束为（10）时，唯一需要认证的命题就是，与符号相同，除非σqy远大于σny。在（A16）式中，令σny=σqy=σnq=σ。因此有
其中，二阶条件要求（1-2kσ）必须为正。在价格效应部分中，假设kn-kq=nπn-qπq/R为正。但是当ηq/ηn足够小于kn/kα时，与ηq-ηn的符号相反。我们已经认证并注释该命题（参见注释[4] ）。
再来分析对π的质量和数量的补偿收入弹性，与收入弹性的推导方式类似。首先考虑对πn和πq的弹性：
当σny=σqy=σnq=σ时，以上各式可简化为：
观察到的“自身价格”弹性和是负的，即使假设σny=σqy=σnq=σ及kn-kq>0,的符号也是不明确的。但是，当πq小于pq时，将超过。当σnq＞0时，观察到的交叉弹性和为正，且当kn＞kq时，将超过。交叉偏微分等于：
其中微分项就是补偿收入。
观察到的πy=py时的弹性为
由此可得
因此，当σ，s相等，且kn＞kq时，质量弹性超过数量弹性；当σny＞σqy时，两者的差距会增大。
观察到的πn，πq和π的等幅变动的弹性就是πy的弹性，只是符号发生变化。因此，n和q的需求函数是I和π，s的零次齐次函数，它们正是影子收入（R）和影子价格（p，s）的函数。
注释
[1]这一价格效应确实为Becker（1960）提出的观点提供了修正，其他有些人认为，富裕家庭和贫穷家庭的子女价格是一样的（不考虑时间成本的讨论），但富裕家庭仍选择价格更贵的子女，正是如此，与数量相关的子女价格对富裕家庭来说会更高。类似的，相关的汽车、住房及其他商品的价格对富裕家庭来说也会更高，因为其选择了更贵的品种。
[2] 参见数学附录。
[3]参见Willis（1973）对此的讨论和扩展。
[4]来源于预算约束（2）式的收入弹性的结论，在更一般的预算约束（10）式下有一点调整，因为质量的影子价格对任意给定百分比的价格变化的敏感程度不及质量的价格对数量变化的敏感程度。可以想象，要大于，同时ηn＜ηq，但我们觉得这不大可能，因为ηq比ηn大得多。
(1)重印自theJournal of Political Economy81, no.2, part 2 (March/April 1973)；S279—S288. 1973 by The University of Chicago。H. Gregg Lewis与我合作写的文章。
