基本模型
本章讨论时间与产品在生命过程中的三个主要方面的分配，这三个主要方面即，消费、人力资本投资及劳动参与。1965年9月，我的文章《时间分配》在《经济学月刊》上发表，本章使用了该文建立起来的分析框架，然而，当时只是从时点上考察了各种消费中的时间分配和时间使用。这里则要把这种分析推广到跨时期决策和人力资本投资。(2)假定某人的一生必定经历n个时期，他的经济福利则依赖于这些时期的选择物品即商品的消费，形如
这里，Ci表示第i个时期所消费的商品数量。由于前一章中的假定，通过利用从市场得到的产品与自有时间，Ci可以依次在“家庭”生产。令第i个时期使用的（合成的）市场产品为xi，用于xi的（合成的）时间数量为tci，于是有
这里，if表示第i个时期的生产函数。如果分析伊始假定时间只在消费和劳动参与（称为“工作”）之间分配，那么，对于每一时期下列等式均能成立
这里twi表示第i个时期的工作时间，t表示在第i个时期内可得到的全部时间。如果各个时期长度相同，那么t与i无关。
每个时期的“能力”由于受到用于工作的时间这一决策变量的影响，因而并非仅仅是“收入”的一个固定量，而可用向量（wi，vi）代替，这里vi表示第i个时间的财产收入数量，wi表示这一时期的现有的工资率。
假定存在完备的资本市场，而市场利率r在每一时期相等，那么，对产品的约束会补充（3）式所给定的时间约束，这种对产品的约束为，产品支出的当前价值必定等于收入的当前价值：[1]
从（3）式中导出twi，代入（4）式，得到约束集
和
右边的项等于“充分财富”，它是前文“充分收入”定义的扩展；左边的项表明充分财富如何“支出”：或者用于产品，或者用于与消费中的时间使用相关联的放弃的报酬。假定每个人（或家庭）都使其效用函数极大化，该函数由（1）式给出，它受（5）式、（6）式给出的限制及（2）式生产函数的约束，决策变量是tci与xi，有2n个变量。如果假定这些变量的最优取值在（6）式所确定的区域内，如果工资率wi同xi与tci无关，那么一阶最优条件不过是
这里
λ是拉哥朗日乘数，它等于财富的边际效用。
用（7）式除以（8）式，得到
或者说，每一时期的相对于产品的消费时间的边际产品等于同一时期的工资率，而与利率无关。换言之，当实际工资率相对较高时，消费时间的边际产品相对较高。
为了在某种程度上更好地理解（9）式的含义，假定所有if是一次齐次的，这是本文的一个有益无害的假定。我们还暂且假定产品与消费时间的生产力不随年龄而变化，因而，所有f项是同等的。由于线性齐次生产函数的边际生产力只取决于要素比例，所以，（9）式表明，考虑增补的假定，如果边际产品下降，那么，当实际工资相对较低时，商品生产是相对时间密集型的，当实际工资相对较高时，商品生产则是相对产品密集型的。
注意，最后的结果是一种“替代”效应，这是毫不含糊的，它不会被在相反方向发生作用的任何“收入”效应所抵消。因为“充分”财富是固定的，由（5）式的右边所固定，而且同时间与产品的时期或时点上的分配完全无关，所以不存在抵消性收入效应或福利效应。然而，需要指出，这种“替代”效应是依据不同时期的时间或产品的相对密集度，而不是依据不同时期消费时间（有时称为“闲暇”）的绝对数值。后者不能只由（9）式决定而是依赖于商品的时期分配。只有当商品消费在所有时期相同时，相对与绝对密度才会必然同向变动。
为了说明商品的时期消费，考虑（7）式的另外形式：
如果假定价格稳定，pi=pj=1，（10）式成为
前文已经说明，如果wj＞wi，那么，由齐次性假定和收益递减，有，因此，由（11）式
注意左边和右边的等式，它无疑是消费的时期分配中的最著名的均衡条件[2]，当且仅当工资率在第i个时期与第j个时期相同时，它才能成立。
考虑（12）式对跨时期的最优消费途径的含义，这里假定，如果所有Ci相同，则所有Ui相同，在这种较弱的意义上，这里假定时间是中性的，那么，如果（12）式中的等式成立，则当r=0时，所有Ci均相等，而当r＞0时，所有Ci在各时期趋于上升（忽略财富效应的差异）。然而，只有当wi在所有时期均相等时，等式才能成立。但是，实际工资率趋于随年龄而增加，直至45岁，50岁或者60岁，然后开始下降。基于wi的这种变化型式，（12）式表明，如果r=0，则Ci不会稳定，而是趋于随年龄而下降，直至达到峰值wi，然后随wi的下降而趋于增加（见图1）。[3]
Ci的下降尔后上升的比例当然取决于消费中的替代弹性。而且，如果r愈大，则Ci初始下降就愈发短暂而平缓，继起的上升就愈长久；对于充分大的r来说，Ci可能始终上升。
由于消费时间与产品的比例随工资率的上升而下降，随工资率的下降而上升，因此，如果Ci保持不变（见图2），那么，tc的绝对值与这一比例具有同一形式。毋庸置疑，如果r=0，如果Ci随wi上升而下降，随wi的下降而上升（见图1），那么，tc将随wi的上升而下降，随wi的下降而上升（见图2）。如果r＞0，那么，Ci将比当r=0时下降得更为短暂并更为平缓；从逻辑上讲，tc的变化也是如此；特别是，当wi达到极大值之前，tc会达至最小。换句话说，工作时间tw在工资率取得极大值之前达到极大。峰值tw与w之间的差额与r的程度正相关，与不同的Ci与Cj之间的替代弹性正相关。例如，面临高利率的家庭应先于其他面临低利率的相似家庭达到工作时间的峰值。
图1 年龄、工资率及商品消费的关系
图2 年龄、工资率及消费时间之间的关系
看起来，费雪方程只是被隐匿起来，没有因对C而非x的注重而被取代。实际上，（11）式的确表示了一种费雪方程，因为，如果f项移至左边就会产生
项是xi的增量的边际效用，j项的含义与此类似。如果r=0，如果时间偏好是中性的，那么（13）式似乎表明xi的水平轨迹，一种费雪结果。
然而又在情理之中的是，这一结论不可依从，费雪结果不能保留，其原因部分地由于效用函数直接依赖于C，而只是间接地依赖于x，部分地由于x的轨迹也依赖于生产函数f，如果r=0而U表示相对C的中性的时间偏好，那么C的变化与w的变化反向相关，x/to的变化与w的变化正向相关。它们各自变化的程度依赖于U的C之间的替代弹性以及f的x与to之间的替代弹性。C的变化使x同w的变化反向相关。而x/to上变化使x同w的变化正向相关。
因而，实际x的变化由这些相悖力量的相对强度决定，就是说，由消费方面的替代弹性与生产方面的替代弹性的相对大小决定。生产中的替代弹性愈大，x同w愈可能正向相关。只有当弹性等同时，两种替代才能相互抵消。x在r=0时，才能是稳定值。[4]当然，r愈大，x（与C）愈有可能随时期而上升。
需要指出，年龄的变化会引起产品消费的增加，这种情况起码直到45岁还可以经常观察到。这种增加无须诉诸未来的时间偏好、利率变化的弹性反应，或未来收入的低估等假定就可以得到说明。如果在商品生产中时间与产品有充分轻易的替代，那么，可以认为时间偏好是中性的，可以忽略利率反应，以及未来的完美预期。但是，产品消费的时间轨迹并不是实际消费轨迹（即商品消费）的可靠指示，这是因为后者可能与前者正好反向相关。
