从某种程度上，对量子理论更为详细但仍为描述性的概述
正如在前面所描述的，量子理论数学是一种波数学。在这一节中，让我们首先讨论几个有关波和波数学的事实。
首先是一个相当不起眼的事实，你可能从来都没认真思考过这个事实，那就是波以群组的形式出现。举个例子，由弦乐器（比如吉他和五弦琴）产生的波，彼此之间存在相似之处，但是与管乐器（比如单簧管和萨克斯管）产生的波之间的相似点并不相同，而管乐器产生的波之间的相似点与打击乐器（比如低音鼓和邦戈鼓）产生的波之间的相似点又不相同。这就像是你跟家人之间有相似点，但是与我跟家人之间的相似点并不一样。简言之，我们可以把波按群组分类。
由于波以群组的形式出现，因此适用于波的数学同样可以按群组分类，也就不足为奇了。下面假设图25-6代表了波数学的不同群组。
图25-6 波数学群组
在图25-6中，左边的家族图标代表了波家族，我把它们称为家族A、B、C、D等。这就像是你的姓氏代表了你的整个家族。右边多个相同的图标代表了每个群组中的各个成员，我用a1、a2、a3等来指代它们，这就像是你的名字、你父母的名字、兄弟姐妹的名字都分别代表了你家族中的一个成员。
波以群组的形式出现并不稀奇，现在，与此形成对比的是，任意特定的波都可以通过把任意波群组中合适的成员组合在一起来产生，这是个相当令人惊讶的事实。以某个特定的波为例，比如拨动吉他的一弦时产生的波。假设图25-7代表的是描述了这列波的方程式。现在，从上面的群组图谱中选择任意一个群组，比方说，我们选了群组A。在群组A中有一些成员，当它们组合在一起，就会产生我们所讨论的这列波。也就是说，把群组A中合适的成员组合在一起可以产生图25-7中的波。如果用示意图来表示，将如图25-8所示。
图25-7 波方程式的表达
图25-8 组合群组中合适的成员来产生一列特定的波
值得注意的是，把任意其他群组中合适的成员组合在一起也可以产生同样的波方程式。举个例子，把群组C中合适的成员组合在一起也可以产生同样的波方程式，就如图25-9所示。
图25-9 组合另一个群组中合适的成员可以产生出同样的波
总的来说，任意一列给定的波都可以通过把任意一个给定的波群组中合适的成员组合在一起来产生。正如前面提到过的，这个关于波的事实相当不可思议，自20世纪以来已经得到广泛研究，而且证明了会产生很多结果。比如，正是因为这个事实才使得用电子设备复现音乐成为可能。（想一想，一个小小的电子设备，与吉他、鼓或者喇叭几乎没有任何相同点，但却可以产生与吉他、鼓或者喇叭几乎完全相同的声音，这难道不相当令人震惊吗？为什么会这样？其核心就是前面所讨论的关于波的这些事实。概括来说，打个比方，你的iPod耳机产生了一系列波，组成了一个波群组，因此，根据前面所讨论的关于波的事实，把耳机波群组中合适的成员组合在一起就可以产生由吉他、喇叭、人声或任意物体产生的波。）
实际上，有了这个并不稀奇的事实（也就是波以群组的形式出现）和另一个相当不可思议的事实（也就是任意一列给定的波都可以通过把任意一个给定群组中合适的成员组合在一起来产生），我们就足以更好地理解量子理论数学原理了。那么，这一小节的最后一个任务就是解释一下如何把这些关于波数学的事实与量子理论关联起来。
尽管清晰解释有关波数学的这些事实与量子理论之间的关联要花费很多功夫，但我们可以进行简略探讨。以下就是最简略的一个总结：
（1）一个量子系统的状态由某个特定的波数学群组所代表，通常其被称为这个系统的波函数。
（2）对一个量子系统可能进行的每一种测量都与某个特定的波群组相关联。
（3）对一个量子系统进行测量时，在（与这个测量相关的）波群组中找到可以组合在一起产生这个量子系统波函数的那些成员，就可以得出有关测量结果的预言。
现在，让我们探讨一下这些意味着什么，首先从对（1）的解释开始。思考一个量子系统，比如在某个特定环境中的某个特定电子。就像吉他弦产生的一列波可以由某个特定的波数学群组来表达，在某个特定环境中的电子也可以由一个波数学群组来表达。重申一下，这个波数学群组就被称为此系统的波函数。
让我们假设电子的波函数如图25-10所示。因此，理解（1）是相对直接、明确的——一个量子系统，比如在某个特定环境中的一粒电子，可以用一个波函数来表达。
理解（2）就要困难一些了，但仍然是比较直接明确的。回忆一下，波以群组的形式出现，与波相关联的数学也以群组的形式出现。在量子理论数学里，每一个这样的群组都与某个特定类型的测量有关。比如，电子的位置就是一种可能会对这个电子进行的测量。在各个波数学群组中，有一个群组将会与对位置的测量相关联，另一个群组会与对电子动量的测量相关联，还有一个群组会与对电子自旋的测量相关联……对各种我们可能对电子进行的测量，都会有一个波数学群组与之相关联。
图25-10 用波函数表达的某个特定环境中一粒电子
如果用示意图来表示，那么将如图25-11所示。这个示意图只列举了三种测量，但实际上对一个量子系统也许能进行无数种测量。正如图25-11所示以及前面（2）中所描述的，每一种这样的测量都会与一个特定的波群组相关联。（顺带提一下，为了便于讨论，我用P、M和S来代表图中三种测量，但应该注意的是，这些并不是物理学家用来代表位置、动量和自旋的标准缩写。）
图25-11 与测量相关联的群组
理解（3）很有可能是这一部分中最难的了。让我们通过例子来理解。假设我们有一个在特定情境中的特定电子，我们想预言对电子位置进行测量会得到怎样的结果。为了便于讨论，假设在这个例子中，可能发现电子的位置只有两个。现在，通过（1）我们知道了有一个波函数与这粒电子相关联（如图25-12所示），通过（2）我们知道了在各个与波相关联的数学群组中，会有一个群组与对位置的测量相关联，让我们假设这个群组是群组P（如图25-13所示）。
图25-12 电子的波函数
图25-13 与对位置的测量相关联的群组P
现在，回忆一下前面提到的那个不可思议的事实，也就是任意一个波群组中合适的成员都可以组合在一起来产生任意特定波函数。因此，具体来说，群组P中会有一些合适的成员，当它们组合在一起时可以产生我们假设的特定电子的波函数。让我们假设p8和p11就是这种成员。如果用示意图来表示，将如图25-14所示。
图25-14 分解成群组P成员的波函数
有了这些信息，我们就可以解释（3）了。回想一下，我们想做的是对特定电子的位置进行预言，群组P是与对电子位置的测量相关联的群组，同时p8和p11是群组P中可以组合在一起来产生代表特定电子波函数的成员。
这两个群组成员p8和p11，能使我们做出所需的预言。在这个例子中，有两个区域可能找到特定电子。事实证明，对p8进行某些直接明确而标准的数学计算，结果将是0或1，这个数字代表了在第一个区域里找到特定电子的可能性。对p11进行同样的数学计算，结果也将是0或1，而这个数字则代表了在第二个区域里找到特定电子的可能性。这就是通过p8和p11对电子位置进行预言的方式。（虽然前面提到的数学计算并不是理解这段讨论的关键，不过如果你对此感兴趣，下面是对此的概述：p8是一个与某列特定波相关联的波数学群组。每一列波都有振幅，因此p8也有一个与之相关联的振幅。这个数学计算涉及p8振幅的平方。在这个计算中，所涉及的数学性质决定了其结果将总是为0或1。正如前面提到过的，这个数字代表了在第一个区域里找到特定电子的可能性。对p11，计算也是类似的，也就是计算出与p11相关联的振幅的平方，所得数字就是在第二个区域里找到特定电子的可能性。）
因此，（1）（2）和（3）描述了量子理论数学如何用于预言对量子系统进行测量时可能观察到的结果出现的概率。总结一下：（1）描述的是一个量子系统是由这个系统的波函数所代表的；（2）描述的是波群组与不同种类的测量相关联；（3）描述的是群组中可以组合在一起产生波函数的成员让我们可以对与这个波群组相关联的测量结果进行预言。
状态随时间的演变。在结束这一节前，让我再简要介绍一下状态随时间的演变。到目前为止，我们所讨论的只是在一个给定状态下对一个量子系统进行测量的结果。我们在前面讨论过，物理学所关心的通常并不只是在某个特定时间测量的结果，还有在未来可能进行的测量的结果。让我们回到从屋顶落下的保龄球的例子，广为人们所熟悉的数学计算让我们可以兼顾这两个方面，也就是说，我们用人们熟知的方程式进行计算，不仅可以预言此时测量的结果，还可以预言未来可能进行的测量的结果。
在量子理论中，一个系统随时间的演变，可以用薛定谔方程来预言。回忆一下前面提到的（1），也就是一个系统当前的状态由这个系统的波函数所表达。非常概括地说，通过薛定谔方程，我们可以从表达当前系统状态的波函数出发，计算出这个系统未来将是什么状态。
我们对量子理论数学的概述可以用薛定谔方程结束。正如前面讨论过的，实际上，量子理论数学所扮演的角色与几百年来我们在物理学中使用的数学是相同的。具体来说，量子理论数学，就像（1）（2）和（3）所概括的，使我们可以预言在某个特定时间进行的测量结果，而通过薛定谔方程，我们可以预言系统在未来将处于怎样的状态。
