｜量子理论数学概述｜
量子理论数学非常高深，因此，不可能在像本书这样的篇幅中进行详细介绍，而同时又确保准确、易懂。然而，尽管在这里可能无法详细介绍量子理论数学，但是要给出一个准确易懂的大致概念，也并不是特别困难。
我的策略将是分别用两种在某些方面有些重叠的方法来描述量子理论数学。首先，第一个部分将是对量子理论数学的一个概括性、描述性的概述。接下来，第二部分仍将具有一定的概括性和描述性，但其中增加了相当多的详细内容。如果你希望有更加详细的了解，在本书最后的章节注释中有一部分提供了更详细的说明。
量子理论数学的描述性概述
量子理论实际上是一种“波”数学，应与“粒子”数学相区别。对波数学和粒子数学进行一下简单介绍将会很有帮助。
在物理学中，我们发现有“粒子”数学和“波”数学。说粒子数学和波数学，我所指的是两种数学，一种是在涉及离散式物体（粒子）时所使用的，另一种是在涉及波的情形时所使用的。举个例子，如果我们把一个保龄球从房顶扔下去，这个情形中的物体就是一个离散式物体（保龄球），而且这个物体看起来受到多种力（比如重力）的影响。适用于这个情形的数学就可以算是我所说的“粒子数学”。
然而，波与粒子是不同的（某些关键不同点已经在前面讨论过了），因此适合粒子的数学并不适合涉及波的情形。不过，处理与波相关的情形，也存在完善的数学方法。在物理学中我们会用到粒子数学，也同样会用到波数学，具体来说，波数学让我们可以预测，对一个系统我们将探测到怎样的特性（比如，一列波的能量有多少），以及这个系统将如何发展变化（比如，在未来某个时间点，波峰将在哪里）。
重申一下，量子理论是一种波数学。不过，正如前面提到过的，这并没有什么不寻常之处。波数学在物理学中随处可见，量子理论只是具体呈现了物理学家们非常熟悉的一种数学方法。
在结束这一小节之前，我想探讨一个常见的问题，而反过来，这个问题又可以用来结束这个概括描述了量子理论数学的小节。总之，量子理论数学是一种波数学，它与其他类型的数学在物理学中的使用方式相同。具体来说，根据一个系统目前的状态，你可以用量子理论数学来预测会观察到这个系统怎样的特点，以及这个系统在未来会呈现怎样的状态。
如果量子理论数学是一种常见的波数学，那为什么我们经常听说量子理论是一个很不寻常的理论呢？在很多关于量子理论的文献中，你很容易得到一种感觉，那就是量子理论从某种意义上说与过去的物理学理论都有意义深远的差异。的确，从某个角度来看，我认为这种感觉是正确的。举个例子，围绕量子理论的命题迫使我们重新思考人们从古希腊时期就开始秉持的某些有关这个世界的假设。然而，量子理论数学又是一种常见的波数学，那么量子理论到底在哪个方面与其他物理学理论不同呢？
有一个差异并不大，但是值得一提，那就是量子理论数学给出的通常是概率性预言，而不是确定的预言。举个例子，如果我们用量子理论数学来预言一个电子的位置，数学计算将会告诉我们在不同位置探测到电子的可能性。相比之下，如果是针对从屋顶掉落的保龄球，数学计算将会给我们提供一个确定的预言。简言之，物理学其他分支所给出的预言通常是确定的（“将在这个方向探测到保龄球”），而量子理论所进行的预言通常都是概率性的（“在这个位置探测到电子的概率是多少”）。
不过，这只是量子理论数学与其他物理学分支的一个细微差异。我脑中想到的主要差异是关于对数学的诠释。由于涉及诠释的命题是下一节的主要话题，在这里，我将仅进行简短讨论。
第一个重点是，物理学中使用的数学实际上只是数学。因此，数学与这个世界没有必然或内在固有的联系。这一点很容易被忽视，但要理解量子理论在哪些方面不寻常，这一点是关键。要更好地理解这一点，让我们再思考一下从屋顶落下的保龄球的例子。在用数学对下落的保龄球进行预言时，其实并不需要把所运用的数学诠释成是关于下落的物体的。所用到的方程式只是一个方程式，是一个数学计算，只是一些符号的集合，这些符号根据有关的数学规则组合在一起，并受这些规则控制。
然而，事实上，我们从某个角度对数学进行了诠释（比如，把数学诠释成是关于掉落的保龄球的），这样的诠释一直都非常有成效、非常有用（比如，对进行预言非常有用）。除此之外，在对与下落的保龄球有关的数学进行诠释时，我们通常都或多或少从相同的角度出发。举个例子，存在一种广泛的共识，那就是方程式的这个部分代表了下落的保龄球，那个部分代表了时间，另一个部分代表了保龄球开始下落时的位置，等等。简言之，对这个方程式如何表述了或者说“描绘了”与下落的保龄球有关的情形，存在一种广泛的共识。
前面的例子涉及与下落的保龄球有关的方程式，在与此类似的情形中，我们通常会有一致的诠释，而这恰恰掩盖了我们其实是在进行诠释的事实。换句话说，我们确实是在对数学进行诠释，但是我们都从同样的角度进行诠释，而且在过去几百年间一直如此，因此，我们通常不会发现，使用数学来对这个世界进行预言需要我们把数学诠释成关于这个世界的数学。然而，事实上，我们把数学与这个世界“进行关联”的方式并不是数学内在固有的属性，而是我们对数学的一种诠释。
就在前面这几段中我试图让你看到，对如何把和下落的保龄球有关的数学与这个世界联系起来，存在广泛共识（“方程式的这个部分代表了球”等）。这正是量子理论数学的主要不同之处，也就是，对如何把量子理论涉及的数学与这个世界联系起来，并不存在共识。
这里我需要谨慎一些，以避免误解。让我们思考一下用量子理论预言电子位置的例子。几乎每个人都认为其中涉及的数学确实是与这个世界相关联的，至少在一般意义上是这样。举个例子，大多数人都认为存在电子和测量设备这样的物体，认为电子可以影响我们用来记录电子位置的测量设备，还认为量子理论数学使我们可以预言在涉及电子的某些情况下，这些测量设备会有怎样的表现。因此，一般来说，几乎所有人都认为量子理论数学确实与像电子和测量设备这样的物体联系在一起。
如果你想更进一步了解，那么量子理论数学所展示的现实其实非常怪异。我们将在有关量子理论诠释的一节中更详细地探讨它究竟从哪个角度来说是非常怪异的。在这里，我只想简单陈述如下：量子理论数学所展示的现实非常怪异，这也就是为什么人们常会听说量子理论是一个非常奇怪的理论。
作为对这一小节的总结，有一点值得再次强调，那就是量子理论数学一点都不奇怪，事实上奇怪的是对量子理论数学的诠释。顺带提一下，这里很适合回忆一下我们在本书前面（也就是关于工具主义和现实主义的一章）讨论过的一点。你完全不需要进行这样的诠释。也就是说，用工具主义态度来对待一个理论（在这里就是对待量子理论），是一种常见且值得尊敬的态度。对量子理论，工具主义态度意味着秉持如下立场：我们有量子理论数学；我们有精通使用量子理论数学的专家；量子理论数学使我们可以做出非常准确和可信的预言。谁又能要求得更多呢？
