上一章中给出了偏好理论的一些基本知识。在本章中将分析多样性偏好是怎样集结起来的，或者换一种说法，多样性的团队、社区和社会是如何进行群体选择的。在这个领域，我们发现了不少问题。所能提到的结果，初看起来似乎是令人沮丧的，但是这些问题可能不像想象的那么严重。本章将证明，当偏好多样性是工具性的而不是基本性的时候，这些问题根本就不是问题。而且，正如在第11章将会看到的，没有偏好多样性，可能也就无法拥有许多其他类型的多样性。正是因为每个人想要得到的东西都有所不同，才会在如何表示事物、寻找解决方案以及解释事物等各方面都有所不同。因此，偏好多样性，尽管有一些负面的直接影响，但是同时也具有正面的间接影响。考虑到所有的优点和缺点，一些乐观的读者甚至可能会引用美国著名女企业家玛莎·斯图尔特（Martha Stewart）的说法：偏好多样性是一件好事。
对于偏好多样性的正面影响和负面影响，需要得出一个反思平衡的观点。但是在此之前，还要先敞开心扉，像但丁那样，进入“偏好之地狱”的最深处，仔细听，仔细看。在这里，提到但丁似乎有点夸大其辞了，但是这里必须坦白地告诉你：关于偏好集结的大量文献确实描绘了一幅令人沮丧的画面。多样性偏好导致的一系列问题，在这里只强调其中的四个：第一，群体偏好可能根本不存在；第二，“一对一投票”中没有胜利者；第三，投票过程可能被操纵；第四，多样性导致公共资源短缺。这些问题会导致社会成员在个人层面上遭受各种挫折，有时甚至会升级为严重的冲突。
下面将对旨在分析整个社会和立法机构运行的大量文献进行综述。对这类文献的解读是比较宽泛的。我们将考虑各种规模的集合，因为在这里，模型不是很重要。令整个国家、甚至像欧盟这样的国家联盟饱受困扰的问题，同样可能会给在组织、公司，甚至家庭中做出选择的小规模决策团队制造麻烦。在美国以前有一种说法：对通用汽车公司不利的东西，必定也对美国不利。也可以把这种说法反过来：对美国不利的东西（偏好多样性），也对通用汽车公司不利。
虽然不难发现政治与商业之间存在很大差异，但是它们之间的相似之处其实比想象的要多。在政治环境中，不同的人想要得到不同的结果。有些人关心自己生活的环境是否清洁卫生，有的人可能更加在意经济能否持续增长。在一个社会组织（如环境保护组织）或一个公司内部，通常可以认为大多数人都拥有一个共同的目标，比如说，使公司的价值最大化，或者使环境保护组织的成员数量最大化。但是，情况并非总是如此。组织激励结构可能会导致基本偏好发生变化。在给定的激励结构下，某个工厂的经理可能不愿意采用新的加班政策来帮助企业获得更大的利润，因为那种政策触及了他的底线。这些类型的偏好多样性可以认为是根本性的，是基本偏好的多样性；某些多样性的政治偏好也是如此。在这两种情况下，人们都想要得到不同的结果。
但是，即使存在充分的偏好多样性，在日常生活中所观察到的偏好多样性实际上大多数都是工具性偏好的多样性。人们往往希望得到同样的结果：少些犯罪、多一些好学校，等等。但是，他们主张采取不同的政策来达到这些目标。再想一想，在任何一个民主国家，多数党的主要候选人是不是都承诺要帮助受教育程度很低的孩子和残障人士？每个人都希望儿童能够接受良好的教育，成长为健康有爱的公民。但是，关于怎样才能实现这些结果，人们会产生很大的分歧。因此，政治偏好的多样性，大部分是工具偏好，而不是基本偏好。工具偏好多样性也存在于企业和其他组织当中。人们可能想要得到大致相同的结果，例如希望公司的股票价格更高一些、本组织的成员人数更多一些，或者声誉更好一些，但是他们提出实现这些目标的方法却可能会大相径庭。如果是这样，就说他们有不同的工具偏好。
在构建模型时，将把偏好多样性作为一个基本的假设，也就是直接假设偏好多样性存在。因此，偏好多样性究竟是根本性的还是工具性的，其实对模型构建并不重要。但是，当试图解释这些模型时，这个区别就变得至关重要了。在基本偏好多样性下，实现的结果会以不同的方式影响人们。有些人会很高兴，有些人却会很沮丧。当选民投票决定在一条河上建造水坝来发电时，那些想要降低能源价格的人就会从中受益，而在这条河中钓鱼的人则会觉得自己的幸福感下降了。没有任何一个决定是可以让所有人都感到高兴的，但是有些决定确实比其他决定要好，尽管它们也是妥协的产物。
在工具偏好多样性下，每个人对结果的体验都是相同的。在一家生产设计师专用眼镜的公司中，经理们都希望最大限度地提升公司的长期价值，但是他们提出的具体措施却是五花八门。但是，一旦决定生产复古猫眼眼镜，这种选择的结果就会以同样的方式影响所有经理。如果公司的价值增加了，所有经理都会很高兴；如果公司的价值下降了，他们都会觉得不高兴。
工具偏好多样性之所以会出现，是因为人们有多样性的预测模型。如果多样性的预测模型导致了工具偏好多样性，这不是一件好事吗？在“多样性与预测”一章中不是已经讨论过这个问题了吗？是的，讨论过了，但是我们可以学到更多的东西。回想一下对群体预测的分析。可以把这种群体预测重新解释为多样性的工具偏好集结，方法是，假设每个人都有相同的基本偏好，并在这些基本偏好的基础上试图做出一个准确的预测。人们有多样性的工具偏好，它们源于人们用来进行预测的多样性模型。这个过程在前面称为对他们的多样性预测进行平均，现在可以称为对他们的多样性工具偏好加以集结。这样一来，预测就可以被视为偏好集结。而且，既然所要做的选择不是容易的选择，那么工具偏好的多样性，也就是预测模型的多样性应该是一件好事而不是坏事。
然而，前面对预测模型进行分析时，为了获得群体的预测，所采取的方法是对多样性预测求平均值或求加权平均值。之所以可以这样处理，是因为所有的预测都是一维的。人们都是在预测价值，所以平均值是有意义的。这里避开了无法取平均值的情况。如果一家公司必须选择是在伦敦还是在迈阿密设立新的办事处，那么“平均偏好”可能位于大西洋中部的某个位置，这没有意义。这里也忽略了引入新备选方案的可能性，只考虑在一个固定的备选方案集合上的预测。但是，现在要考虑的是选择的问题，在这种情况下，是可以引入新备选方案的。而且，这些新备选方案可以用来操纵结果，这是在本章中要处理的许多问题中的一个。不过，新备选方案的引入也并非全是坏事。如果它们有利于达成适当的妥协，那么新备选方案就可以缓解紧张局势。
结果1：群体偏好可能根本不存在
从一个有开创意义的定理开始讨论。这个定理是由肯尼斯·阿罗（Kenneth Arrow）证明的。尽管政治科学领域的大多数学者都很熟悉这个结果，但是它仍然有可能会令外行人感到震惊，所以最好安坐不动，细细阅读本节内容。这个定理告诉我们，多样性的个人偏好为什么不能集结为群体偏好。它意味着合理的群体偏好是不可能存在的。很可能根本无法界定一个社会的偏好，甚至可能无法确定一个家庭的偏好，可能没有任何连贯一致的方式来描述“美国人民”的偏好。与每个人都息息相关的是，它意味着我们可能无法说出自己的家庭到底喜欢比萨多于炸玉米饼，还是偏好炸玉米饼多于汉堡。
群体偏好不存在！这个事实具有深远的影响。这就意味着不能说“这就是美国人民想要的东西”。我们可以穿着黑色衣服，抽着烟，坐在咖啡馆里，正儿八经地谈论“一般意志”“所有人的意志”等高深的政治哲学概念，一直谈到脸色发青、肺泡全黑都没有关系，因为这个问题不会自行消失，原因很简单：多样性。
为了阐明阿罗的定理，首先要明确合理的群体偏好到底是什么，然后再说明合理的群体偏好不存在这个结论的意义。为此，先回到本书前面给出的偏好模型上来。想要搞清楚俄亥俄州人民、思科公司董事会成员或者孟菲斯大学艺术和科学学院员工的偏好，一般要求这些偏好能够满足某些规范的性质，也就是学者们所称的“作为迫切想到得到之物的性质”。1
而在得到这些“作为迫切想到得到之物的性质”之前，还需要先了解阿罗在证明定理时的一些关键假设。阿罗考虑的是一个有限的备选方案集合，个人可以在这个集合上进行排序。除了这些偏好排序之外，任何信息都不得用于构建群体偏好。人们不能通过向其他人支付金钱、出具借据或发出“这次我欠你一个人情，下次我会报答”的承诺来显示自己偏好的强度。阿罗考虑的问题只有一个：将个人偏好排序映射为群体偏好排序的函数是不是存在。如果每个人都提交了自己对各备选方案的排序，群体是否也存在这样的排序。
群体偏好要满足的第一个要求是，它们必须是理性的，必须是完备的，即任何两个备选方案都可以相互比较和可传递的，也就是不允许出现“剪刀、石头、布”游戏那样的循环。如果失去理性，群体就可能无法采取任何行动。事实上，可以暂时忘记重大的政策问题，家庭决策中也同样存在这个问题。如果喜欢中国菜多于墨西哥菜、喜欢墨西哥菜多于意大利菜，喜欢意大利菜多于中国菜，我们一家人应该去哪里吃晚餐？当然，不能回答“去丹尼餐厅吃”，那就是不按常理出牌了。
群体偏好必须满足的第二个要求是，群体偏好应该能够反映个体层面的一致性。如果每个人都偏好A甚于B，那么群体就必须偏好A甚于B。如果俄亥俄州的每个人都更喜欢七叶树而不是橘树，那么“俄亥俄州人民”也应该如此。如果公司每一个员工的预测模型都显示在安阿伯设立新办事处比在波士顿更合适，因为前者的居民更友善、更聪明、更具多样性，那么公司作为一个群体，也应该更加偏好在安阿伯而不是在波士顿设立新办事处。
如果所有人都偏好X甚于Y，群体也偏好X甚于Y，那么就说偏好反映了一致性。顺便指出，个人偏好总能反映一致性。如果一个人偏好X甚于Y，那么他更喜欢X而不是Y。这没有什么好说的。
群体偏好满足的第三个要求是，对备选方案的偏好不取决于其他比较有吸引力的备选方案的存在。把这个要求以规范形式写下来，要比现在这样说复杂得多。
当Z不是一个可能的结果时，偏好X甚于Y，而且如果对X和Y的偏好都甚于Z，让Z成为一个可能的结果不会导致偏好Y甚于X，那么就说偏好满足了非相关备选方案的独立性要求。2如果不满足非相关备选方案的独立性要求，人们就可以引入新的备选方案来操纵结果。同样地，这个问题不会出现在个人层面，而只会出现在群体层面。
群体偏好满足的第四个要求是不存在独裁者。在这里，独裁者是自己的偏好能够主宰群体偏好的人。
如果不存在决定群体偏好的个人偏好，就说偏好是非独裁的。如果允许存在一个独裁者，那么构建群体偏好就不再是一个问题了。群体偏好就是独裁者的偏好。但是，允许独裁者存在破坏了最初的目标：集结个人的偏好。3
这些要求构成了对偏好集结进行分析的基石。尽管它们不一定直接浮在水面上，但是一直潜伏在水下。当人们的偏好彼此之间足够相似时，这些要求是无害的，但是当个人的偏好是多样性的时候，这些要求就会导致冲突。
阿罗不可能定理
前面已经提到过了，肯尼斯·阿罗证明，上面这些要求之间存在着不可调和的内在冲突。假设个人拥有理性偏好，可以证明以下结论：4
定理
阿罗不可能定理：
从个体偏好排序出发，如果允许所有可能的偏好，那么不存在完备的、可传递的群体偏好排序，群体偏好满足一致性、非相关备选方案独立性和非独裁性。5
阿罗的定理至今仍然是社会科学中最大的悖论之一。它指出，任何集结偏好的规则，包括多数投票，都不能满足前述要求。说实话，这确实很糟糕，不是一个令人开心的结果。还要注意的是，当理性人的投票会导致非理性的群体偏好，也就是循环的偏好时，这种情况既可以因基本偏好多样性而发生，也可以因工具偏好多样性而发生。
要构造一个基本偏好循环的例子非常简单，只需要包括三个人和三个备选方案就足够了。假设利丝、斯基普和威廉三个人必须投票决定在哪里举办夏季奥运会。三个候选城市是伦敦、华盛顿特区和汉堡。三人的偏好排序分别如下：
利丝：汉堡>伦敦>华盛顿特区
斯基普：华盛顿特区>汉堡>伦敦
威廉：伦敦>华盛顿特区>汉堡
当这三个人进行投票时，华盛顿特区以2：1战胜汉堡、汉堡以2：1击败伦敦、伦敦则以2：1击败华盛顿。在这里，通过投票确定的群体偏好创造出了一个循环。虽然个人有理性偏好，但是群体却没有。这种类型的循环被称为“孔多塞循环”，它是由法国数学家、哲学家马奎斯·孔多塞（Marquisde Condorcet）最先发现的。
工具偏好的循环也不难构建，可以利用前面讨论过的政策及其对犯罪率影响的例子（见表10-1）。每一个政策都有一个社会维度和一个财政维度。
表10-1 政策映射
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回想一下，对于表格，我们应该这样看：政策Lm能够减少犯罪，政策Rm则会增加犯罪。再回想一下，两位政治家阿伦和丽贝卡分别使用了不同的解释。阿伦只看到了政策的社会维度，而丽贝卡则只看到了政策的财政维度。因此他们有不同的预测模型（见表10-2和表10-3）。
表10-2 阿伦的预测模型
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表10-3 丽贝卡的预测模型
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现在让阿伦和丽贝卡加入一个三人委员会。该委员会的第三个成员名是玛丽。玛丽把所有政策分成三组：左派的、右派的和中间派的。分类规则是，如果某个政策至少在一个维度上具有“自由主义立场”，同时在另一个维度也不是保守的，那么就将它解释为左派的政策（见表10-4）。反之，如果某个政策至少在一个维度上是保守的，同时在另一个维度上也不是自由主义的，那么就把这个政策解释为右派的政策。如果一个政策是妥协的，那么该政策就被解释为中间派的：在一个维度上是自由主义的，在另一个维度上是保守的，或者，在两个维度上都是温和的。
表10-4 玛丽的解释
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玛丽发现，在三个中间派的政策当中，有两个政策会导致犯罪率下降，所以她预测中间派的政策会减少犯罪率。同时，三个右派的政策当中，有两个政策增加了犯罪率，所以她预测右派的政策会增加犯罪率。此外，她认为左派的三个政策中，一个会减少犯罪，一个会增加犯罪，还有一个没有效果，所以她的预测是左派的政策没有效果（见表10-5）。
表10-5 玛丽的预测
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现在，考虑如下三个政策：Lm，Mr和Rl。只要尝试一下，就不难找到阿伦、丽贝卡和玛丽对这三个政策的预测（见表10-6）。在这里，以阿伦的预测为例来分析。阿伦只关注政策的社会维度（以大写字母表示），他认为中间派的政策要比右派的好，同时他又认为右派的政策比左派的更好。
表10-6 对政策的预测
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假设所有人最喜欢减少犯罪，最不喜欢增加犯罪，可以得到如下的偏好排序：
阿伦：Mr>Rl>Lm
丽贝卡：Lm>Mr>Rl
玛丽：Rl>Lm>Mr
这些偏好会导致一个投票循环。政策Lm在投票中击败了政策Mr，而政策Mr反过来又在另一次投票中击败了政策R1，然后政策Rl又击败了Lm。6尽管每个人都有相同的基本偏好，但是他们在投票过程中仍然会制造出一个循环。这个循环源于他们多样性的预测模型。在这里，群体不再拥有“智慧”，不能再将多样性预测模型的结果集结为一个准确的预测了。群体出现了循环，这个群体玩起了“剪刀、石头、布”的游戏。
阿罗不可能定理与多样性
与所有其他“愿望清单”一样，阿罗给出的那些要求也是希望达到最好状态。这些相互冲突的要求迫使我们做出选择，必须放弃它们当中的某个或多个。例如，避免循环的一种方法是按一定规则“计分”，早在18世纪，法国数学家让-德·博尔达（Jean-Charles de Borda）提出的“博尔达计分法”就是其中一个例子。根据博尔达计分法的规则，每个人的排名决定了每个备选方案的分数。假设有三个备选方案，那么一个人的第一选择可以得3分，第二选择可以得2分，第三选择只能得1分。总得分最多的备选方案胜出。由于每个备选方案都能得到一定分数，这样就能保证不会出现循环：8分大于7分，7分大于6分，那么很显然，6分不可能大于8分。看起来这种方法似乎很不错。
可是且慢！阿罗的定理告诉我们，没有这么简单。肯定还有什么东西出了差错。确实如此。博尔达计分法不能满足非相关备选方案独立性要求。如果加入新的非相关备选方案，就可能改变其他备选方案的排序。回想一下上面举的由三人决定奥运会举办城市的例子。假设他们使用博尔达计分法，那么结果将会是一个三方的平局。但是，如果斯基普决定引入贝塞斯达市作为一个新的备选方案，而且如果每个人都认为贝塞斯达的吸引力只比华盛顿小一点，那么他们的偏好排序就可能如下所示：
利丝：汉堡>伦敦>华盛顿>贝塞斯达
斯基普：华盛顿>贝塞斯达>汉堡>伦敦
威廉：伦敦>华盛顿>贝塞斯达>汉堡
如果运用博尔达计分法，那么汉堡从利丝那里得到4分、从斯基普那里得到2分、从威廉那里得到1分，总共得7分。伦敦则可以从利丝那里得到3分、从斯基普那里得到1分、从威廉那里得到4分，总共得8分。华盛顿则从利丝那里得到2分、从斯基普那里得到4分、从威廉那里得到3分，总共得到9分。至于贝塞斯达，则可以从利丝那里得到1分、从斯基普那里得到3分、从威廉那里得到2分，总共可得6分。贝塞斯达似乎是不相关的，它是最后一名。其实不然，它改变了结果，使华盛顿顺利胜出了。
有人可能会问，阿罗的定理与多样性有什么关系？回想一下，阿罗的定理允许所有可能的偏好排序，这也是阿罗定理的一个条件。如果偏好受到了限制也就是，不允许多样性存在，那么上述各种要求就不一定会相互冲突。7在最极端的情况下，如果每个人都拥有相同的偏好，那么所有要求都可以得到满足。如果将偏好多样性限制在一个单一的维度上，上述要求也能得到满足，这是一个公认的强大假设。为了更清楚地阐明这一点，不妨先回过头再考虑一下前面讨论过的蛋筒冰激凌模型，并且把备选方案之间一对一投票的多数票决规则作为集结偏好的规则。
蛋筒冰激凌模型的再思考
回想一下，在前面的蛋筒冰激凌模型中，人们对于蛋筒冰激凌的颜色是有自己的偏好的，颜色由理想的蛋筒冰激凌决定。在这里，偏好之间的差异是根本性的还是工具性的并不重要。无论在哪一种情况下，只要大多数人喜欢某种颜色，就可以说，群体偏好这种颜色甚于其他颜色。
接下来，考虑一个由蛋筒冰激凌可能颜色组成的集合，并让人们为自己最喜欢的颜色投票。要特别注意的是那个偏好中位颜色的人，不妨称这个人为查德。将查德的理想点记为M（见图10-1）。假设现在有一个由11个人组成的蛋筒冰激凌投票委员会。要让查德成为中位数投票者，必须在M点的左边放置5个人的理想点、在M的右边放置另外5个人的理想点。
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图10-1 中位理想蛋筒冰激凌
接下来要证明颜色M会在“竞选”中击败任何其他颜色。为了证明这一点，先假设M点右边的某种颜色与颜色M“竞选”。显然，查德偏好M甚于这个其他颜色，所有理想点位于M左边的人亦然。同样，如果某种颜色位于M的左边，那么查德偏好M色甚于这个其他颜色，每个理想点位于M的右边的人亦然。因此，M必定是胜出的颜色，或者说，蛋筒冰激凌委员会的首选颜色肯定是M。也可以运用得多数票者胜出规则来确定群体偏好，这些群体偏好满足所有要求。8
这个例子表明，些许多样性，无论是基本偏还是工具偏好，都不会造成任何问题。然而，不一定每个人都会对群体选择结果或排序感到满意。如果这些偏好差异是发生在基本偏好上的，那么查德所偏好的结果将能够平衡左右两边人的顾虑。而且，有些人也许会对该备选方案被选中而兴高采烈。再者，正如在后面将会讨论到的，平均来说，成员多样性群体的参与者对结果会不太满意。当然，总会有人不满意，这是不可避免的。在此不妨引用滚石乐队主唱米克·贾格尔（Mick Jagger）的一句话，“你不可能永远心想事成”。你是否能得到你所需要的东西？并不一定。
如果偏好差异是发生在工具偏好上的，那么人们是否快乐就取决于作为预测的选择能够好到什么程度。如果蛋筒冰激凌委员会只关心蛋筒冰激凌的销量，那么查德所偏好的首选颜色就可以被认为是一项政策。这项政策结果的好坏，也就是总销售额的高低，取决于个人预测的准确性和多样性，从多样性预测定理可以知道这一点。如果这个预测是准确的，那么所有人都会很开心；如果这个预测是不准确的，那么每个人都会不高兴。
结果2：“一对一投票”中没有胜利者
我们在上面已经阐明，偏好在一个维度上的多样性不会带来什么问题。既然如此，我们不禁要问，如果偏好在两个或更多维度上表现出了多样性，是不是也没有问题呢？不幸的是，答案是否定的。这是为什么呢？为了说明这里面的原因，我们进一步假设，除了要为蛋筒冰激凌选择适当的颜色之外，那个委员会还必须为它们选择适当的尺寸。其他条件如前不变。
我们将把蛋筒冰激凌的颜色和尺寸称为它的“设计方案”。我们可以在一个二维空间中描绘出每一个可能的蛋筒冰激凌的设计方案，其中横坐标为颜色，纵坐标为尺寸（见图10-2）。
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图10-2 两个维度上的蛋筒冰激凌
加入尺寸这个维度，带来了一大堆问题。第一个问题是，我们的中位数投票者查德消失了。在只有一个维度的时候，查德位于这样一个位置上：一半人的理想点在他的左边，另一半人的理想点在他的右边。但是在加入了尺寸维度之后，我们却不可能找到一个理想点在两个维度上都满足这个性质的人了。查德的位置现在变得悬而未决了？为了搞清楚这个问题，请看图10-3，该图显示了三个人的理想设计方案（分别用A、B和C表示）。
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图10-3 两个维度上的蛋筒冰激凌，有三个人的理想点
一个人要想成为某个维度上的中位数投票者，他的理想点必须位于另外两个人的理想点之间。从图10-3可以看出，理想设计方案为B的这个人在“尺寸”这个维度上具有中位理想点，但是在“颜色”那个维度上，理想设计方案却变成了C的那个人具有中位理想点。当然，中位数投票者的缺失不一定会造成问题。也可以将每个维度上的中位蛋筒冰激凌本身定义为所在维度的中位数。这样一来，实际上就创造了一个虚拟的查德，用M来表示他的理想点。
也许有人认为这就万事大吉了，凭借这个伎俩，似乎可以得到一个能够获胜的设计方案。然而，还要检验一下，在另一个可选设计方案的投票中，M是不是也能够胜出，也就是说它是不是赢得多数票的获胜者。不难看出，它不是。当然，要构想出击败M的设计方案也需要费一些心思。请考虑一下位于M右下方一点点的那个蛋筒冰激凌设计方案X（见图10-4）。
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图10-4 击败中位数
通过一番验算发现，理想点为A和B的人都更偏好X而不是M，因此M就不可能成为优于其他设计方案的赢家。
有人也许会想，如果虚拟查德的理想点M会被击败，那么总应该存在另一个最受青睐的设计方案吧。但是实验经济学创始人查理·普洛特（Charlie Plott）认为情况并非如此。事实上，普洛特已经证明，只要偏好存在于不止一个维度之上，那么任何一个备选方案都可能被击败。
定理
普洛特没有胜利者定理：
一般而言，在存在不止一个维度的情况下，没有任何一个备选方案能够在一对一投票中击败所有其他备选方案。9
对于前述普洛特定理中的“一般而言”，在稍后的证明中会给出明确的定义。现在先解释一下这个定理背后的直觉以及它为什么非常重要。不要看M，而要看击败了M的设计方案X。很显然，X又被Y击败了，因为B和C都更偏好Y而不是X（见图10-5）。
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图10-5 击败X
把这个推理逻辑扩展为一般证明并不困难，而且这样做很值得。考虑任意一个备选蛋筒冰激凌设计方案，并用P来表示它，可以在每个方向上用一系列蛋筒冰激凌设计将P这个设计方案团团“包围”起来（见图10-6）。
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图10-6 普洛特没有胜利者定理
我们希望P能够在一对一投票中击败任何其他蛋筒冰激凌设计方案，其中也包括恰恰位于它下面的设计方案s。而这就意味着少于一半的人必须更偏好尺寸比P还要小的设计方案。同时，P还必须在与设计方案n的一对一投票中胜出，而那就意味着少于一半的人必须更偏好尺寸比P还要大的设计方案。类似地，少于一半的人必须更偏好颜色更深的蛋筒冰激凌设计方案e和“颜色”更浅的蛋筒冰激凌设计方案w。这个相同的逻辑还可以应用于颜色和尺寸都不同于P的那些设计方案，可以看到，不到一半的人必定在P的右上方有理想点，因为如果不是这样，那么P就会在与ne的一对一投票中被击败。
把所有这一切都考虑进去可以发现，P要想在与所有其他设计方案的一对一投票中胜出，它就必须是每个维度上的中位数。因此，委员会成员的理想点必须在从P出发的每个方向上平均分配。对于这种性质，数学家称之为径向对称（radial symmetry）。偏好可能是对称排列，但是这种可能性非常低，事实上，可以说这几乎是不可能的。这就是普洛特定理中所用的“一般而言”这个词的含义。
“向四面八方看”这种说法是不是很熟悉？是的，在讨论“一杯咖啡”模型时曾经提到过，要找到一杯好咖啡，就得“向四面八方看”。这两个模型都表明，多样性是一把双刃剑。看待事物方式的多样性，能够在许多不同的方向上进行搜索并找到更好的解决方案。我们所期望的差异，引导人们在许多方面提出政策建议，这会使几乎所有政策或结果都不再稳定。
但是，在这里必须小心一点。普洛特定理的含义依偏好多样性的来源不同而有所不同。如果多样性是关乎根本偏好的，就像许多人通常所假设的那样，人们可能会有很强的激励继续提出更接近自己理想点的备选方案。因为这种情况下，理想点代表的是结果，而且人们希望得到更接近他们所偏好的结果。
然而，如果偏好多样性是工具性的，上面这种逻辑就不一定成立了。在这种情况下，这里所说的备选设计方案就可能是公司政策，而结果则可能就是指销售额。人们有动机去提出他们认为可能会增加销售额的设计方案，也就是接近他们理想点的设计方案，而且他们也会认识到，中位设计也就是虚拟查德的理想点可能是一个相当不错的预测。因此，普洛特定理在这种情况下造成的问题就会少得多，除非人们非常迷恋自己的预测，而无法认识到群体的智慧。
麦凯尔维循环定理
普洛特定理的结果虽然可能差强人意，但是仍不足以忧心忡忡地发出严重的警报。只有在多样性偏好可能导致错误的选择或预测时，我们才需要担心。不过，正如接下来就会看到的，这种担忧可能是合理的。如果缺乏有效的制度约束，一系列的投票可能将人们“带入泥淖”。不夸张地说，人们可能会选出一个“恶霸”州长。
利用前面二维的蛋筒冰激凌模型，可以很清楚地看到这一点。再次假设，这个选举委员会还是从设计方案P开始考虑，然后转向能够在投票中击败这个方案的某个设计方案，将后面这个设计方案记为P1。接下来，再考虑一个能够击败P1的设计方案P2。根据普洛特定理，如果一直这样做下去，最终可能会碰到以下两件事情中的一件：要么会陷入一个类似于“石头、剪刀、布”的循环，比如说，P7败于P8、P8败于P9、P9又败于P7；要么蛋筒冰激凌设计方案在可能设计方案空间的大部分区域内“游来荡去”。
第一个结果，也就是政策在若干个选择之间交替循环初看起来似乎不是太糟糕，但是事实并非如此。第二个结果，也就是政策“漫无目的地在可能的政策空间内游走”听起来似乎也不太吸引人。这种情况可能会促使人们反思：民主是不是一个好东西？不幸的是，对这个问题的答案，似乎也只能“永远徘徊”。要想知道为什么，只要回想一下前面是怎样构造了一个击败M（虚拟查德的理想点）的设计方案就可以了。一个蛋筒冰激凌，A和B都更喜欢这种设计方案而不是M，同时完全用不着关心C对这种设计方案有什么看法。这就是关键所在：可以建立一个联盟，尽管会让某些人不高兴。这就是说，可以制造出这样一种蛋筒冰激凌，它会让某些人变得稍稍快乐一点，也就是说刚刚足够吸引其他选民赢得多数票就行了。我们在前面选择Y的时候就是这样做的。B和C更偏好Y，而不是X。在Y这个设计方案上，A是不快乐的。因此，另一个蛋筒冰激凌设计方案，如果位于远离A但接近B的位置，就可以击败Y，这里把这个设计方案称为Z（见图10-7）。
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图10-7 远离合理的设计方案区域
然而在Z这个设计方案上，C会非常愤怒。而且，尽管A把票投给了Z，但是A也不喜欢这个设计方案，A的理想点离Z很远。更重要的是，其实B也不太喜欢Z。所以，现在得到了一个糟糕的结果：胜出的Z是一个可怕的备选设计方案，因为它离任何人的理想点都相当遥远。
关键在于这是通过一连串投票得到这个糟糕结果的。当然，还可以继续这样做下去。事实上，通过投票得到任何一个备选方案，比如，可以让尺寸极小的淡蓝色蛋筒冰激凌，击败体积巨大的深蓝色蛋筒冰激凌。
现在所得到的确实是一个令人非常不安的发现：一连串的投票，可以“到达”备选方案空间的任何地方。我们无法保证不会得到一个完全武断的结果。
定理
麦凯尔维循环定理（McKelvey's Cycling Theorem）：
如果偏好是多重维度的，那么一般而言，给定任意一个备选方案，通过一连串投票，都有可能到达任何一个其他备选方案。10
麦凯尔维循环定理不久之后就被政治学家诺曼·斯科菲尔德进一步加以推广了。斯科菲尔德证明，多数人偏好选择的连续路径，也可以从任意一个地方到达任意其他地方。11这句话听起来似乎专业性颇高，但是它的含义却很容易理解。这意味着，任何一个政策可以沿着一条稳稳当当的道路，顺风顺水地改变为另一个政策。要将民主引入歧途并不需要特别复杂的技巧。
上面这几个定理也导致一些学者大谈特谈“民主的混乱”。但是，从这些定理推导出“民主的混乱”，实在是对它们莫大的误解。这些定理描述的是群体偏好的特征，而不是在真正的选举中会发生什么。如果提出设计方案的人有动机去争取获得尽可能多的选票，那么最终胜出的设计方案往往接近虚拟查德的理想点。12而且，选举制度本身就包括了许多程序、规则，它们可以防止人们的选择在设计空间的阴暗区域中无目的地徘徊。为了理解这一点，设想一下蛋筒冰激凌设计方案W击败Z的情形。每个人应该都知道W是一个糟糕的设计，同时任何一个人都可以提出自己理想点上的设计方案，从而以一致的投票击败W。因此，防止循环的另一种有效方法是要求采取绝对多数规则。如果要改变现状，必须得到2/3选民的赞同票，那么当选民数量比较大时，就不可能出现循环。13
所以，得再回过头去审视一下麦凯尔维的结论：只要他们愿意，一组选民可以从任何一种蛋筒冰激凌设计方案出发，到达任何一种其他的设计方案，这样的路径确实存在。逃离设计空间中心区域的趋势，取决于人们提出偏离中位数设计方案的动机强度，以及让自己的方案通过投票的能力。而且，这里所说的动机因素也要视偏好多样性是在基本偏好上还是工具偏好上而不同。如果是基本偏好上的多样性，那么那些拥有不具备代表性偏好的人就有动机去提出他们自己喜欢的结果，而且如果比较幸运的话，就可能赢得胜利。
如果偏好多样性是工具偏好上的，那么虽然一连串的投票可能到达任何一个地方，但是人们还是没有动机去提出远离群体预测的政策。只有当人们认为他们自己的预测模型比其他人好得多的时候，这种动机才会存在。当然，如果每个人都这么想，也会出现问题。如果只有一个人这样想，而且这个人是正确的，也就是模型更准确的话，那么正如在“多样性与预测”一章中已经看到的那样，结果可能也不会太糟。因此再一次，集结多样性偏好时可能会出现的问题，就工具偏好而言，影响要小得多。
如果其他条件相同，那么更多的偏好多样性就意味着选民的代表性选择会减少。这在大型选举中是成立的：选民选择的代表性与偏好的异质性之间似乎存在负相关性。利用洛杉矶市选民的投票数据，伊丽莎白·格伯（Elizabeth Gerber）和杰弗里·刘易斯（Jeffrey Lewis）通过分析选民在55次选举中的投票行为，估计出了一个国会选区内的偏好异质性。结果发现，偏好异质性较大地区的代表与中位选民的相关程度，要低于来自偏好更同质地区的代表。14他们的证据与前述逻辑是一致的。
结果3：投票过程可能被操纵
到目前为止，所报告的结果都非常消极。但现在就给对群体决策和多样性偏好的分析下结论还为时过早。可以从更正面的角度来看待这些结果。然而，在真正变好之前，情况还会变得更加糟糕，可能比你想象的糟糕得多。
到目前为止，我们一直假设人们所表达的都是他们真正的偏好。这个假设依赖于对人性的一种天真的想象。人们可以而且确实在通过虚假陈述自己的偏好来谋求更有利的结果。人们经常通过投票选出他们认为可以获胜的那个候选人，而不是希望胜出的那个候选人。15
为了搞清楚这种谎言是怎样出现的，来看一下美国电影艺术与科学学院的院士们是如何投票选出奥斯卡奖得主的。作为奥斯卡历史上最令人沮丧的一个事件，阿德里安·布劳迪（Adrien Brody）击败了迈克尔·凯恩（Michael Caine）、尼古拉斯·凯奇（Nicholas Cage）、丹尼尔·戴-刘易斯（Daniel Day-Lewis）和杰克·尼科尔森（Jack Nicholson）等竞争对手，赢得了2003年度的最佳男主角奖。需要提醒你的是，接下来的内容纯属猜测。现在真真切切知道的是，布劳迪获得的选票比其他候选人都要多，因此胜出，这没有问题。不过在这里，纯粹是为了“好玩”，我们假设这几位著名演员的得票率如表10-7所示。
表10-7 2003年奥斯卡最佳男演员投票结果
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可以这么想象，那些投票支持尼科尔森的人更喜欢凯恩而不是布劳迪。尼科尔森和凯恩都是著名的好莱坞老戏骨。如果这些选民知道或者认为布劳迪会赢，就可能会虚假陈述自己的偏好，并投票支持凯恩。如果真的是那样，那么凯恩本来可以赢得他的第一个奥斯卡奖，同时那些改变了支持对象的人，也就是那些操纵了投票结果的人则会更加快乐。因为他们更偏好的是凯恩而不是布劳迪。
这个例子看上去可能显得人为痕迹太重了一点，但是事实并非如此。艾伦·吉伯德（Allan Gibbard）和马克·萨特思韦特（Mark Satterthwaite）已经证明，这种扭曲自己偏好的动机总是会存在。只要至少有三个备选方案，同时人们有不同的偏好，那么任何决策规则都可以被操纵。除非指定一个独裁者，但是对于独裁者，还可以用其他方式加以操纵。
定理
吉伯德-萨特思韦特定理：
任何非独裁的、用来集结对多于两个结果多样性偏好的规则，都是可以被操纵的。16
在前面已经看到，即使人们说的全是真话，投票或其他决策规则也会有问题。现在又看到，人们没有动机总是说真话。为了理解吉伯德-萨特思韦特定理，首先假设基本偏好。将在讨论基本偏好多样性对人们说谎倾向的影响之后，再来讨论工具偏好多样性的影响。
我们的核心关注点在于，搞清楚多样性在吉伯德-萨特思韦特定理中扮演的两个角色。该定理的第一个条件是至少需要三个备选方案，第二个条件则要求必须允许所有可能的偏好，也就是偏好可以是多样性的。首先，探讨为什么至少需要三个备选方案。很显然，当只存在一个备选方案的情况下，没有人能够故意虚假陈述自己的偏好。在美国，某些国会选区的初选只有一名候选人，在这种选举中，可以放心，没有选民会虚假陈述自己在选举中的偏好。
其次，考虑对两个备选方案进行投票的情形，在这种情形下也不会出现问题。假设现在要对两种不同的大米进行投票，一种是泰国香米，另一种是印度香米。具体地说，假设要编写一本菜谱大全，并为此组建了一个编辑委员会，委员会成员要投票决定：哪种类型的大米适宜制作文火慢煮龙蒿饭配胡萝卜。在这个委员会中，一个叫瓦莱丽的成员更偏好的是泰国香米而不是印度香米。为了搞清楚瓦莱丽是否有动机虚假陈述自己的偏好，需要考虑5种可能的情况（见表10-8）。
表10-8 不包括瓦莱丽的投票的若干情景
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在情景一和情景五中，瓦莱丽的投票不能影响结果，所以可以忽略它们。在这两种情景下，她甚至没有参加投票的动机。在另外三种情景下，她的投票却可能很重要。在情景二中，如果她投票选择泰国香米，那么泰国香米就会胜出；如果投票选择印度香米，那么投票将以平分秋色而告终，从而必须通过抛硬币或其他方法来决定。在这种情景下，瓦莱丽应该投票支持泰国香米，因为她本来就更偏好泰国香米。在情景三中，她的投票决定了结果，瓦莱丽更偏好泰国香米，所以应该投票给泰国香米。最后，在情景四中，印度香米将胜出，除非瓦莱丽投票选择泰国香米。如果瓦莱丽投票选择泰国香米，那么印度香米和泰国香米将打成平手，所以她还是应该投票支持泰国香米。
在瓦莱丽投票很重要的这三个场景下，她都应该投票选择自己最偏好的泰国香米。她没有动机虚假陈述自己的偏好。现在引入野生稻米来增加备选方案的数量。在某些情景下瓦莱丽可能虚假陈述自己的偏好。为了方便，再次假设瓦莱丽更偏好泰国香米而不是印度香米，偏好印度香米甚于野生稻米。如果瓦莱丽预测到，泰国香米只能得到10%的选票，而印度香米和野生稻米则可以均分剩下的90%的选票，那么她的最优策略是转而支持印度香米。她将会像上面那个例子中原本支持尼科尔森、后来转而支持凯恩的投票者一样。如果她确实这样预测，就可能会为印度香米投下赞成票。
刚才已经看到，为了操纵结果，备选方案的数量不用太多，只要三个就行了。但是仅凭这个条件还不够，即使有三个或更多的备选方案，操纵也不一定能实现。可操纵性要求偏好也必须是多样性的。考虑如下这个蛋筒冰激凌的例子，它有三种可能的颜色，而且全部落在一个维度上（图10-8）。
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图10-8 单一维度上蛋筒冰激凌的三种颜色
假设进行一次非正式投票，结果颜色B得票最多，其次是颜色C。在这种情况下，偏好颜色A的人没有动机去虚假陈述自己的偏好：在B与C之间，他们更偏好B，因为B更接近A。如果我们加入第二个维度尺寸，那么虚假陈述自己偏好的动机就会更强。从图10-9可以清晰地看出这种可能性。
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图10-9 两个维度上蛋筒冰激凌的设计方案
理想点位于x处的人最偏好的是设计方案C，同时A则是她第二喜欢的设计方案。理想点的位于y的人也最偏好设计方案C，但是B才是他第二喜欢的设计方案。
在出现两个维度的情况下，知道一个人最偏好的备选方案，对他关于其他备选方案偏好的限制，要比只有一个维度时小得多。因此，虚假陈述自己偏好的动机也会增强。
简而言之，如果有不止两个备选方案，而且偏好是多样性的，也就是说，不能把偏好排在同一条直线上，则很可能有动机通过虚假陈述自己的偏好来操纵结果。操纵并不是一件好事，但是，只有对多样性的基本偏好而言，这才会成为一个大问题，对多样性的工具偏好却不会。
议程操纵
现在继续深入探讨多样性偏好导致的问题。这次要讨论的问题是，多样性偏好会引发议程操纵。作为例子，考虑一个“石头、剪刀、布”比赛，看石头、剪刀和布这三个策略中，哪一个策略会胜出。假设现在的情况是，在第一轮，石头打败了剪刀；在第二轮，布打败了剪刀，赢得了比赛。第一轮中，石头砸碎了剪刀；第二轮中，布包住了石头（见图10-10）。
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图10-10 第一场“石头、剪刀、布”比赛
再考虑第二场比赛，第一轮布胜了石头，第二轮剪刀胜了布，最后剪刀获胜（见图10-11）。
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图10-11 第二场“石头、剪刀、布”比赛
比较这两场比赛的结果有助于我们认清制定议程权力的重要性。17在第一场比赛中，布获胜；在第二场比赛中，剪刀获胜。在本书前面分析“兵力分配博弈”时也碰到同样的现象：“全国冠军”其实就是先与俄克拉荷马大学队交手的那支队伍。
议程操纵会带来两方面的后果，且都是不好的后果。一方面，最终的结果将没有什么代表性，因为人们往往可以用更恶劣的方式来操纵议程；另一方面，这种操纵行径也会导致不信任。当有人提出一个议程时，其他人很可能怀疑这个议程就是为了操纵后果而设计出来的。
启示
虚假陈述偏好和操纵议程的影响要从正反两面去看。如果只看结果，那么虚假陈述偏好和议程操纵的效应不一定是有害的。如果美国电影艺术与科学学院的院士们虚假陈述了自己的偏好，因此让迈克尔·凯恩赢得奥斯卡最佳男主角奖，结果就一定比现在不好吗？因此，虚假陈述偏好也可能改善结果。也正因为如此，许多政治学家把基于动机的虚假陈述偏好行为称为策略性投票，而不是简单地称之为说谎。通过策略性投票，选民们可以避免把选票浪费在他自己最喜欢但没机会胜出的候选人（备选方案）上，转而选择有机会胜出的那个候选人（备选方案）。
再者，如果偏好多样性是工具偏好上的多样性，那么虚假陈述偏好或议程操纵的动机就会很微弱。如果人们有了一个共同的目标，也就没有理由不透露他们的预测。人们甚至有动机分享信息、模型和经验，使所有人都有机会改进自己的预测模型，从而改善群体选择。
研究策略性投票和议程操纵后果还有一种方法是集中关注群体内部的关系。虚假陈述会降低群体成员之间的信任度。再一次回到奥斯卡颁奖的例子上。假设获奖者是由一个委员会选出来的。委员会的所有成员坐在一个房间里讨论每个被提名的演员。假如某个委员会成员先是强烈推荐了尼科尔森，但后来却把票投给了凯恩，那么他这种行径就有可能激怒其他成员。如果真的是这样，那么在偏好多样性的群体中，可以预测人们将不会那么心胸开放，将会不怎么愿意分享他们的偏好。至于操纵议程的企图对群体内部的关系的影响，甚至都不用再多说了。
如果涉及的是基本偏好多样性，这些问题可能会更加严重。如果多样性是工具性的，那么不会有人特别偏好某个特定的政策，人们只关心结果。然而不幸的是，人们对自己的思想和观念可能非常执着，就像他们对自己的偏好一样。如果委员会的某个成员认为自己拥有比其他人更加准确的预测模型，他可能会试图操纵结果。实际上，每个人都可能有这种感觉，而且都有可能采取策略性行动。他们可能对自己的模型非常感兴趣、非常有信心，以至于即使结果已经实现了，他们也仍然坚信自己的选择会导致更好的结果。
结果4：多样性导致公共资源短缺
到目前为止，我们的分析一直集中在如何选择一个备选方案上。然而，在很多时候，人们必须在多个项目之间分配一定的资源。在这种情况下，基本偏好的多样性会导致其他一些问题。其中最值得注意的一个问题是，相对于同质社会选择的资源水平而言，多样性的基本偏好会导致资源供应不足。试想两个四口之家，每个家庭都有相同的固定预算可以用于建造房子。同时每个家庭都有母亲、父亲和两个十几岁的男孩。
第一个家庭的所有成员都享受同样的活动：唱歌、打牌、用冰棒棍子制作精致的模型。他们建造了一栋房子，有一间中等大小的厨房、一间很大的家庭娱乐室、一间音乐室和两间小房间。
第二个家庭的成员则有多样性的基本偏好。母亲艾伦喜欢焊接，父亲丹尼尔热衷于建造飞机模型，他们的大儿子扎卡里酷爱打鼓，而小儿子埃文则沉迷于书法。他们也建造了一栋房子，厨房和客厅都很小，但却有一个大型焊接车库、三间卧室，以及一个供丹尼尔建造飞机模型的车间。这就是说，为了满足各个家庭成员的多样性偏好，他们没有太多的共同空间。
一般而言，这种多样性的基本偏好会导致公共资源提供不足。如果所有人都想要得到同样的东西，他们就可以花更多的钱在这些相同的东西上，并共同受益。如果他们想要的东西不同，就不得不把钱摊薄。由于这里的逻辑非常明确、非常清晰，所以不再给出正式的模型，而直接讨论它对不同社会、组织和家庭的影响。更具多样性的基本偏好应该会导致只有更少的资源被分配给群体商品和项目，也就是每个人都可以使用的东西，而群体“蛋糕”也必须被切成供许多个人消费的很多个薄片。如果大家的偏好更相似，那么就可以将“蛋糕”切成大大的几块，让每个人分享。
基本偏好多样性和工具偏好多样性的差异
对多样性偏好的分析引出了一些发人深省的观察结论。用正式的术语来说，具有多样性偏好的个人可能会形成不理性的集合。如果没有适当的程序，投票的结果可能会谬之千里。关键在于，能够完美发挥作用的程序是根本不存在的，而且个人有动机虚假陈述自己的偏好并操纵议程。对于这种策略性行为，最好的制衡之道可能就是其他人的策略性行为。然而，即使这种策略性行为取得了好的结果，该说的都说了，该做的都做了，人们也可能会彼此憎恨或厌恶得到那个结果的过程。但是，我们也不必悲观，这种影响并不像想象的那么可怕。当偏好多样性只是工具偏好上的多样性时，采取策略性行动的动机可能不会那么强烈。事实上，从前面讨论预测的内容可知，工具偏好的多样性还可能是一件好事。说到底，多样性工具偏好其实无非是多样性预测模型而已。
在本章中，一直假设的都是纯粹的基本偏好多样性或工具偏好多样性。然而，在现实生活中，这两类多样性的偏好经常是同时起作用的。比如说，很多地方都通过全民公决投票决定是否要建设城市绿化带。首先假设每个人都只关心最大化自己的家的价值。如果是这样，公民在全民公决时的投票行为可以被看作他们关于公共绿地对房价有什么影响的预测。如果自己的预测模型是绿化带将通过减少新住房的供应增加对现有房屋的需求，那么人们就会投票支持建设绿化带。而那些预测绿化带将会拉低本地经济增长并减少整体住房需求的人，则会投反对票。也可以假设人们确实关心绿地和本土物种的保护。如果是这样，那他们在全民公决中的投票可能是基于这些基本偏好的。当然最可能的是，人们既关心住房价值，也关注绿地的保护。同时，人们很可能不知道这些政策的结果。因此，基本偏好和工具偏好都可能有所不同。
基本偏好多样性与工具偏好多样性之间的差异，会影响对应该如何组建决策机构的思考。如果认为大多数的偏好多样性都是基本偏好多样性，那么在组建一个要做出对整个社会都有影响的决策委员会时，就将希望有多样性偏好的代表参与进去。事实上，人们希望委员会的偏好能够反映社会的偏好，以保证委员会的任何选择即结果都能为大多数社会成员所接受。出于这个简单的原因，创建一系列包括了男性和女性、不同种族和族群的人、不同年龄段的人、不同职业的人、不同地区的人的委员会往往是有道理的。进一步贯彻这个逻辑，人们可能还希望通过制度来保护少数免受多数的压迫。政治家詹姆斯·麦迪逊（James Madison）就是这样想的，其他很多人也是这样想的。
到目前为止，我们并不想将那些只拥有非常不准确预测模型的人的想法包括在内。对此，下文将进行反思。相反，我们想要的是在预测任务是相当困难的这个前提下多样性的、准确的预测模型。因此，委员会需要由聪明且有不同思路的人组成。否则，群体预测就会不够准确。
多样性偏好的上述含义也适用于个人。一个男人，可能既是丈夫、父亲、儿子、兄弟，又是朋友和销售代表。一个人在特定环境下偏好什么，取决于他当时所扮演的角色。有的人将这些不同的角色称为身份。不同的身份会在不同的环境下被唤醒。在进行投票或投资时，我们可能只想到自己的家庭；在决定要阅读哪本书时，可能只考虑自己的职业或朋友。当多重社会角色或身份同时被环境唤醒时，我们可能会失去理性：可能拥有了多样性的包含了循环的基本偏好。同样，头脑中有许许多多的预测模型。这些预测模型可能会相互冲突，甚至陷入循环。在沃尔特·惠特曼的诗歌中，对此有非常好的描述。他写道：
我自相矛盾吗？
那好吧，我是自相矛盾的，
我辽阔博大，我包罗万象。
美国华裔女作家汤婷婷也有类似的感悟，她这样写道：“我学会了扩大自己的心智，宇宙如此广阔，足以容下悖论。”是的，正是因为生活的充实产生了这种矛盾。大多数人都愿意接受这种权衡，愿意容纳矛盾，以换取社会角色和思想的丰富。团队、群体，甚至整个社会也可能都愿意接受这种妥协，因为只有足够辽阔，才能包容矛盾，而且这同时也使它们足够博大，足以解决问题并做出准确的预测，就像下文中将会看到的那样。
