多样性视角、启发式、解释和预测模型这些框架是每个人可以带到工作台或黑板前使用的工具。我们都带着一个装满了各种工具的工具箱。这个工具箱是一个思考个体认知差异的框架，因为每个人的工具箱都装满了不同的认知技能。这里所说的工具可能是一个视角，比如用另一种语言思考的能力；也可能是一种启发式甚至是一套启发式，比如微积分知识；又可能是一个解释；还可能是一个预测模型，甚至是一类预测模型。我们要尽其所能地利用这些工具。
工具箱框架服务于三个目的。第一，它有助于以新的方式思考智能这个问题。在通常情况下，我们都是根据智商分数来评估智能水平的，而利用工具箱，就可以根据特定的工具或工具集合来思考。第二，工具箱框架能帮助我们重新思考应该如何对智能进行排序。如果从工具的角度来思考人，就不一定能说一个人比另一个人聪明。第三，工具箱框架允许我们计算群体能力。如果把人视为有工具的人，那么就可以推断出一群人将会如何表现。但是不能对智商分数进行相同的计算。
工具箱使我们与众不同：任何两个人都可能拥有不同的工具箱。一个人可能知道如何应用概率论中的贝叶斯规则，另一个人可能知道如何区分不同鸟的种类；一个人可能知道怎样用二进制来表示数字，另一个人可能懂得如何将草药和香料结合使用。工具箱定义、约束、引导我们，决定我们在学校里的表现、应该怎么与别人相处、选择什么职业、赚多少钱、是否能够玩得开心，以及聪明的人怎么看待我们。一个人的工具箱不会是一直固定不变的。在生活中，我们会学习新的工具，偶尔忘记旧的工具。在任何时候，个人的工具箱都取决于天赋、身份、训练和经验。
但是，拥有工具和正确地使用工具是两回事。为简单起见，假设所有人都有能力使用他们拥有的工具。一个更完整的框架还要考虑到一个人使用自己工具的便利性。工具的便利性因人而异。某个人可能很快就能很好地利用自己的工具。另一个人可能很久都无法确定该使用什么工具，不过他在将工具组合起来使用方面却非常得心应手。许多提出了深刻洞见、做出了突破性贡献的人，都是深思熟虑、“慢工出细活”的思想者。再一次强调，很多思维迟缓的人思考也不深入，那个说“静水流深”的人可能从来没有见到过深潭。
到底哪些工具可以进入一个人的工具箱？部分取决于天赋。每个人都天生就有一些获得各种工具的潜能，也天生就有一些限制。有的人学语言得心应手，有的人凭直觉就能学好数学，还有的人把复杂的国际象棋下得特别好。基因并不完全决定我们能够获得哪些认知能力，甚至可以说，基因对所能掌握的认知技能施加了严格的约束，但是基因确实使某些技能比其他技能更容易掌握。当然，是否选择培养有天赋的能力和技能，那又是另外一个问题了。
工具箱的“内容”也是身份、经验和训练的产物。要了解老师和父母让学习的东西，知道他们为我们安排了哪些机会。接受什么训练、获得什么经验，并不是随机的，而是由选择决定的。我们会学习自己和朋友认为有意思的东西。本书后面还会更详细地讨论这个主题。在这里，先专注于工具箱对智能认知的影响。
虽然工具箱可以说是真实大脑运行机制的“简化版”，但是工具箱框架却使对智能的思考变得更加复杂化了。思考智能的标准方法依赖于“测量棒”（measuring stick），我们每一个人都落在测量棒的某一处。智商测试只使1根测量棒，其他方法则可能使用更多的测量棒。例如，著名教育心理学家霍华德·加德纳（Howard Gardner）(7)就用了7根测量棒，而且一直在考虑第8根。8根测量棒看起来似乎很多，但是在确定一栋房子价格的时候，就至少运用了8根：建筑面积、建造年份、外墙建筑材料、房间数量、浴室数量、卧室数量、占地面积、地板类型等。因此，在衡量人的智能时，尺度只会更多。
为此，我们采取了另一种方法。假设一个人的智能取决于他的工具箱，以及获取、生成工具并应用工具去解决问题、应对环境的能力。在其他条件相同的情况下，一个人拥有的工具越多，解决问题、构建理论、完成其他认知任务的能力就越强。使用工具箱框架让我们的考虑更加智能，更重要的是，组合智能才能变得复杂。如果智能更高只意味着比另一个人拥有更多的工具，那么是可以做这样的比较的。
但是，智能更高也可能意味着某个人可以解决另一个人能够解决的任何问题以及其他更多的问题，而且第一个人在所有情况下都能做出更准确的预测。如果是这样的话，就需要保证第一个人拥有第二个人拥有的每件工具，第一个人的工具箱不仅仅是一个不同的集合，而且包括第二个人工具箱的全部，当然还远远不止于此。工具的超可加性意味着我们也需要知道一个人可能会应用的所有工具及其组合。如果只用一把锯子或一把锤子，不可能建造出令人满意的房子和任何有意义的东西。如果同时拥有两者，就可以建造房子、树木堡垒和围栏了。正如管理大师彼得·德鲁克所说：“有效的工作通常是由许多不同知识和技能的人组成的团队完成的。”1
在本章中，将充分展现工具箱框架的威力，并将它与测量棒方法进行对比。比如说，智商分数以及多维智能测验分数。即使是多维度智能指标，也会因为将认知差异投影到多维空间而低估多样性。而在工具箱框架中，人们的各种能力都可能不同，而且这些能力最多只会转化为粗略的排名。也许可以给出数学家的排名表，但是不能说托尔斯泰是否比牛顿聪明。可以在领域内部排名，但是不能跨领域排名。而且只能在某些领域内进行排名，对物理学家进行排名比对作家排名容易得多。一般而言，不能说这个作家就比那个好。
智能≠智商
美国人非常喜欢排名。无论是城市、学校、汽车、航空公司、狗，还是电影明星，都有排名。我们也倾向于认为可以按智能高低对人进行排序。但是有许多人都相信，认知能力不能用一个数字或数字向量来概括。根据对工具箱框架的分析结果，则反对对人进行完全的排序。但是，也不能满足于直接得出结论说每个人都是不同的，那可能太极端了。至少，可以对人进行分类，然后在类别之间进行一些比较。“伟人”这个类别的人，比如说伟大的小说家和核物理学家，确实比其他人更聪明，但是不能说伟大的小说家比核物理学家“聪明”，也不能说核物理学家比小说家“聪明”。
多样性认知技能，就像城市多样性景观一样，在各种不同的背景下都被证明是有益的。认知技能类似于身体技能，适用于某些领域，而不适用于其他领域。如果有人忘记了身体技能是有“情境依赖”的，那么只要跟他提一提迈克尔·乔丹去打棒球的经历就足够了。虽然从普通人的标准来看，乔丹也可以说是一个非常出色的棒球运动员，但是他显然没有达到大联盟棒球运动员应有的水平，尽管他作为运动员，比所有其他大联盟棒球运动员都更加成功。一位优秀的花样滑冰运动员的身体素质与一位优秀的相扑运动员的身体素质是不一样的，同样，一项任务中要求精通的认知技能与另一项任务所需的认知技能往往很少有重叠之处。
为了揭示原因，心理学家使用了通用型智能测试方法。这些智能测试将人类思维映射到一个单一的维度上。这个单一的维度又被概念化为能力。我们认为，自己比每个智能测验得分更低的人都要聪明，而得分高的人则比我们聪明。但是，鉴于大脑的复杂性和多样性，对个人或群体的这种排序似乎问题重重。从智能这样复杂的东西到一个数字的任何映射，都会浓缩许多信息。试想，你能用一个分数来衡量城市质量吗？你能够把巴黎或纽约，甚至塔尔萨市简化为一个单一的数字吗？当然不能。
不过话说回来，智商测试毕竟还是在测量一些有意义的东西。这种测试能够反映某个人在相对较短的时间内展现一系列认知技能的能力。平均而言，智商高的人应该拥有更多的工具，尤其是能让人快速而准确回答问题的工具。因此，智商测试得分高的人可能并不是多样性的。2
在刻画智能方面，工具箱方法与测量棒方法有着根本的区别。智商和工具箱都是解释。它们都将一个人解释为一个集合。在智商框架中，这种集合由数字组成；而在工具箱框架中，这种集合则是工具的组合。一个人的智商得分只能取200个左右值中的某一个。相比之下，特定工具箱集合的数量却可能非常巨大，这一点很快就会论述到。3因此，工具箱框架比测量棒方法更能包容多样性。
智商测试通过接受测试的人回答正确的问题数量来确定他的得分。回想一下上面给出的城市类比。要给芝加哥或波士顿打个分，可以要求这些城市回答一些问题：有博物馆吗？有公园吗？空气干净吗？有交响乐团吗？……要想获得高分，一个城市必须给出正确的答案。但是最终得分最高的城市取决于所提出的问题。所以不能说芝加哥比波士顿好或波士顿比芝加哥好。芝加哥可能比波士顿好，波士顿也可能比芝加哥好，这根据所问的问题而定。然而，如果考虑所有可能的问题，那么从“平均成绩”看，巴黎比塔尔萨市或大急流城一般来说会好一些。但是，在某些特定的问题上，比如当地人是否友好？塔尔萨市和大急流城却给出了比巴黎更好的答案。所以不能说巴黎在每个方面都更好。
这种类比值得进一步展开。假设，与姐姐凯莉一同住在芝加哥的萨拉想要搬到波士顿去。萨拉对波士顿一无所知，只不过一份在波士顿的杂志《康泰纳仕》（Condé?Nast）给芝加哥的评分是84分，而给波士顿的评分却是85分。萨拉真的可以根据这种评分结果得出波士顿有更好居住环境的结论吗？当然不能。相反，看到这样的评分，她应该得出的结论是，在芝加哥和波士顿这两个城市中，任何一个城市相对于另一个城市都有其优势，而从总体来看，它们不相上下。如果把这种差异类比为智商差异，就可以得出这样一个结论：智商的巨大差异可能意味着智能的显著差异，但智商的微小差异则不然。更加重要的是，过于关注智商得分上的微小差异，会掩盖更关键的认知差异。两个智商得分相同的人对社会做出的贡献可能完全天差地别。
然而事实是，一旦获得了这样一些单一的数字指标，就会迫不及待地开始进行比较。这种比较会导致紧张和压力。与以下这个场景相类似的场景每年都会出现在美国各地不同的家庭中：身高180厘米的大卫收到了他的学业能力评估测试分数（SAT），他的父母马上把他的成绩与姐姐杰姬的成绩进行了比较。杰姬身高只有165厘米，但是她的成绩比大卫好得多。大卫的父母试图让他冷静下来，因此对他说：“我们每个人都不一样。没有任何人比其他人更聪明。”而大卫则想：“是的，是这样，我也这么想。”这样一来，大卫就可以接受自己的分数了。但是，如果将这种逻辑贯彻到底，那么他的父母其实也可以告诉他，他和姐姐的身高是一样的。当然，如果接受工具箱的比喻，我们将会认识到，大卫的父母是有道理的。不能把这些分数看得太重了。4可以沿着墙把人排成一排，用一支铅笔做好标记，从而确定每个人的相对身高，但是对于每个人的智能，不可能做同样的事情。
多元智能与三元智能
如果仅有一个数字指标达不到，那么也许可以通过增加维度数量来捕获智能。正如将会看到的，这个想法确实向着工具箱框架的方向迈进了一步，但是远远没有到达终点。尽管如此，它仍然值得在这里展开探讨。
上文中已经提到过，对于智能，最著名的多维度测量方法是霍华德·加德纳提出的八大智能维度度量法：语言的、逻辑的、音乐的、空间的、运动的、人际的内省的以及自然观察的。5加德纳所选择的这些维度都不能说是“特别的”。据他所说，每个维度都要满足7个标准：相关的智能与大脑的特定区域有关、存在这方面的“神童”、可以按精通程度划分为不同阶段，等等。
著名认知心理学家罗伯特·斯滕伯格（Robert Sternberg）给出了第二种多维度的智能测量方法。它包括三个维度：分析性智能、创造性智能和实践性智能。6分析性智能大体上与人们通常说的智商相对应，它强调的是解决测试问题的能力。创造性智能刻画的是人们将过去的经验应用到新的问题上、并将不同想法组合起来解决问题的能力，这与工具箱框架有相似之处，创造性智能部分测试了组合不同工具的能力。实践性智能则用来刻画一个人将学术知识应用于现实世界的能力。一个实践性智能很高的人，在解决类似“做一张桌子要购买多少木材”这样的问题时能够娴熟地运用自己的工具，但是在解数学问题时却可能表现不佳。一个实践性智能较低的人可能随手就能解出很难的微积分题，但是在重新装修一个房间时却可能会多买五六倍的油漆。幸运的是，这两个人可能会结婚。如果真能那样的话，一切就都尽善尽美啦。
多维度评价的困惑
虽然单维度的智能指标可以用来排名，但是多维度的指标却不一定能。例如，可以说，一个SAT语言部分得分700分、数学部分得分700分的学生，比在这两个分数上都只得了600分的学生“考得更好”，但是却不能确定他是不是比那些在数学部分得了800分，同时在语言部分只得了600分的人“考得更好”。在不知道这两个部分权重的情况下，甚至不能说他比在数学部分得了710分，而在语言部分只得了600分的人“考得更好”。当然，可以对各部分进行加权处理，这样可以给出一个综合分数以及一个单维的排序。但是这样做的时候，我们已经对各个部分的相对重要性做出了隐含的价值判断，这可能会有问题。更有问题的是，只要改变一下权重就可以改变一群人的排名。
假设希望根据凯瑟琳、帕特里克和保罗的考试成绩对他们进行排名。当然，对他们进行排名就是在每个人的名字之间放入一个大于号，形成如下的式子：
凯瑟琳>帕特里克>保罗
上面这个式子代表凯瑟琳排在帕特里克之前、帕特里克排在保罗之前。这种排序是可传递的，所以凯瑟琳也一定排在保罗之前。在这种情况下，“>”的关系可以用来表示年龄，即凯瑟琳比帕特里克年长、帕特里克比保罗年长，这意味着凯瑟琳也一定比保罗年长。这种按年龄排序的方法是合理的，因为年龄是一维的。7现假设凯瑟琳、帕特里克和保罗都参加了斯滕伯格的智能测验，并得到了如表5-1所示的分数。
表5-1 三个人的斯滕伯格智能测试得分
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仅仅根据这些分数，不能对凯瑟琳和帕特里克进行排序。凯瑟琳的创造性智能得分更高，但帕特里克的分析性智能和实践性智能得分更高。同样的，也不能直接对帕特里克和保罗进行排名。帕特里克在分析性智能和实践性智能上得分更高，但保罗在创造性智能上得分更高。不过，对凯瑟琳和保罗进行排名是可以的，凯瑟琳在三个方面得分都比保罗更高。这种部分排名会导致混乱。凯瑟琳比保罗更聪明，但帕特里克却不比保罗更聪明，同时凯瑟琳又不比帕特里克更聪明。这种悖论性结果之所以会出现，是因为我们把几个维度压缩成了一个维度。在这样做的过程中，损失了信息，混淆了差异。
获得完整排名的一种方法是将这三方面测试的得分加起来，得到一个总分。他们的总分如表5-2所示。
表5-2 三个人的斯滕伯格智能测试总得分
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现在可以对他们进行排名了。但是，这种一维排序实际上否定了这三种智能的独立性。而且，它对这三种类型的智能赋予了同样的权重。这种同权重的假设是武断的。在某些情况下，分析性智能可能比创造性智能和实践性智能更加重要。如果分配给分析性智能的权重双倍于创造性智能，那么就会构造出一个“数学权重加倍的斯滕伯格智能测试得分”，于是就会让帕特里克“成为”最聪明的那个人。8
改变权重，就可以改变排名，这会造成严重的问题。为了处理多重属性的情况，大多数排名系统采取的方法都是先给每个属性分配权重，然后进行相加。例如，《美国新闻与世界报道》杂志（U.S. News?and?World?Report）在对大学进行排名时，就分配了一系列权重。大学有多重属性：学生考试成绩、毕业率、师生比，等等。《美国新闻与世界报道》杂志给每个属性分配一个权重，而每一个权重就决定了该属性的相对重要性。所以，一所大学的得分就等于它各个属性得分的加权和。这样一来，就可以将所有大学按这种一维分数的高低，从最高到最低一路往下排列起来。但是，假设你想申请大学，你希望以不同于《美国新闻与世界报道》的方式来给各种属性分配权重，那又会怎样呢？也许你最想上的学校是一所距离你家160千米之内的好大学。你会得出一个与众不同的“大学排行榜”，但是那样的话，许多大学就会失去“大吹法螺”的机会。没有一所大学愿意树立一块硕大的广告牌，上面写着“本大学连续第五年离康拉德家最近”！
当然，如果某所大学在所有属性上的表现都优于另一所大学，那么无论各属性的权重如何，它都会排在比后者更高的位置上，这就像不管三方面智能的权重是多少，凯瑟琳的排名总是高于保罗。然而，随着维度数量的增加，某个人或某所大学所有维度上的得分都高于另一个人或另一所大学的机会会迅速缩小。
权重分配的任意性令我们对这些排名觉得有些不安。再来看一看大学橄榄球碗赛的排名体系，它已经引发了广泛的不满。这种排名也是根据各支球队的分数进行排序的，该分数综合了民意调查、计算机排序、获胜记录、赛程强度和胜利的含金量等方面的因素。在某些特殊的情况下，分数越低越好，因为分数最低的两支球队有权参加大学生橄榄球全国冠军赛，许多人认为这是不公平的。球迷们认为，哪支球队最好，这个问题的答案应该是在球场上决定的。他们希望通过比赛来决定最好的球队。9
围绕大学橄榄球碗赛及其排名体系的争论决不是无关紧要的。还可以证明，“在球场上一分高下”这种解决问题的方法，或者说，通过面对面的比赛来确定排名的方法，也可能不起作用。最好的团队可能根本就不存在。同样的逻辑也适用于人。即使能够通过某种方式让人们面对面地竞争，以便搞清楚谁是最聪明的，也可能无法观察到明显的赢家是谁。即使制作了一个名为“世界上最聪明的人”的游戏节目，也可能找不出世界上最聪明的人。尽管这样说可能要向全世界智商最高的人玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn Vos Savant）表示歉意。
在这里，可以用“兵力分配博弈”（Colonel Blotto Game）来驳倒面对面的竞争能够得出哪个团队是最好团队这种观念。在经典的“兵力分配博弈”中，有两个博弈（游戏）参与者，每个参与者各有100颗棋子（“士兵”）。每个参与者都必须将这些棋子排列在三扇门前面。10无论哪个参与者，只要在某扇门前放下了比对方更多的棋子，就能赢得这扇门（“士兵占领了门”）。“兵力分配博弈”的目标是赢得最多的门。但是，“兵力分配博弈”不存在最优行动。任何位置上任何一颗棋子的摆法都可以被击败。例如，如果第一个参与者在第一扇门和第二扇门前各放50颗棋子，而在第三扇门前不放任何棋子，那么第二个参与者可以在第一扇门和第三扇门前分别放60颗棋子和40颗棋子，这样就可以赢得两扇门，从而在整个博弈中胜出。
可以用“兵力分配博弈”来给大学橄榄球碗赛建模：第一扇门表示第一支球队的进攻组、第二支球队的防守组；第二扇门表示第一支球队的防守组、第二支球队的进攻组；第三扇门表示双方球队的特别组。“兵力分配博弈”还可以对律师的行为建模，这几扇门可以分别代表法律知识、个人魅力和事实盘问。当然，“兵力分配博弈”并不能刻画所有竞争情况，没有任何一个模型能做到这一点，但是它确实是一个相当不错的类比。接下来，假设有4支参赛队伍参加一个“兵力分配博弈”锦标赛，它们分别是南加州大学队、密歇根大学队、佛罗里达大学队和俄克拉何马大学队。这几支参赛队采取的策略如表5-3所示。
表5-3 兵力分配博弈中的策略
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南加州大学队、密歇根大学队和佛罗里达大学队都击败了俄克拉何马大学队，因为前3支参赛队都在两扇门前各放了34颗以上的棋子。而在前3支参赛队伍之间，如果南加州大学队与密歇根大学队比赛，那么南加州大学队将胜出，赢得第一扇门和第三扇门；如果密歇根大学队与佛罗里达大学队比赛，那么密歇根大学队将胜出，赢得第一扇门和第二扇门；如果佛罗里达大学队与南加州大学队比赛，那么佛罗里达大学队将胜出。因此，南加州大学队击败密歇根大学队、密歇根大学队击败佛罗里达大学队、佛罗里达大学队又击败了南加州大学队，这就形成了一个循环。在下文中，当讨论不同偏好的集结问题时，也会出现循环现象。既然出现了这种循环，那么这3支参赛队当中，没有一支比其他任何两支参赛队更好一些。当然，所有这3支参赛队都要比俄克拉何马大学队好。
假设，要让这4支队伍参加一场锦标赛来决定谁将成为全美冠军。如前所述，陷入循环的3支队伍分别是南加州大学队、密歇根大学队和佛罗里达大学队。再假设，击败俄克拉荷马大学队的是密歇根大学队。在另一场比赛中，佛罗里达大学队险胜了南加州大学队。于是密歇根大学队和佛罗里达大学队进入决赛，他们的比赛在多提士-斯巴鲁嘉年华碗（Tostitos-Subaru Fiesta Bowl）的网站公开直播。最后，密歇根大学获胜。成千上万的粉丝走上街头，游行庆祝。第二天，密歇根大学的学生和校友纷纷跑到商店购买纪念帽子、T恤和杯子，然后在安阿伯市放声高歌：“向勇敢的胜利者致敬，向征服敌人的英雄致敬！”
但是，请先等一下！如果仔细分析一下比赛进程就可以发现，密歇根大学队之所以能够赢得冠军，完全是因为他们在首轮比赛中击败了俄克拉何马大学队。细致的分析表明，任何一支参赛队伍，如果在第一轮比赛中遇到了俄克拉何马大学队，就能赢得全美冠军。11所以，运动商店售出“2008年全国冠军”纪念衫是名不副实的，更恰当的说法应该是“在第一轮比赛中击败了俄克拉荷马大学队的参赛队”。这个头衔也许不那么有吸引力，但至少是准确的。
在这里应用“兵力分配博弈”模型是否合理呢？答案是肯定的。像南加州大学队、密歇根大学队、佛罗里达大学队这样的循环其实非常普遍。在各种各样“面对面竞争”的赛事中，都可以看到这样的循环，但是我们却通过武断地确定排名和颁发冠军欺骗自己。虽然在事实上，只需要保证冠军头衔的含义是“锦标赛的胜利者”，就可以堵住悠悠众口了。但是，确实不应该把“冠军”与“最好”混为一谈。12
在这里先简单总结一下。在存在多个维度的情况下，是不存在明确的赢家的。即便是采取让竞争者“面对面分个高下”的解决方法，也往往无济于事。这种方法能够产生的胜利者，取决于比赛的分组形式和比赛程序。不可能指望找到一支最好的球队、一个最好的律师或者一个最聪明的人。在安抚SAT总得分低于其他人的孩子时，会说每个人都是不同的、分数低不代表比别人更不聪明……但是语气总是显得软弱无力，事实上我们完全可以说得大声些、清楚些。每个人确实都是不同的，我们有不同的工具。
工具箱框架
工具箱框架其实相当简单。首先，考虑所有可能的工具，这包括一个人可能获得的所有知识、技能、能力、启发式、解释和视角。当然，一个人可能无法获得所有这些工具，所以一个人的工具箱是可能获得的工具的子集，也就是一个人已经获得的工具。
我们经常会跨领域应用工具。在支付账单、计算收入和购买牛奶时，会运用基本的算术。某个领域开发出来的药物或外科手术方法往往会被应用到其他领域。例如，肉毒杆菌是一种温和的肉毒菌，被用于帮助解决一个不那么可怕的医疗问题，即祛除皱纹。肉毒杆菌通过暂时麻木肌肉来减少面部皱纹，所以如果采用这种去皱法的话，你必须经常去看医生或举办一个肉毒杆菌聚会。麻木肌肉的能力就是一种工具。所以一旦开发出了肉毒杆菌，医生就可以将其用于解决其他涉及刺激肌肉的医学问题，如口吃、某些形式的溃疡、脑瘫，等等。但是并不是所有的工具都能用于解决其他问题。你不能用搅拌机去修理汽车，至少效果肯定不是很好。
这就是工具箱框架。打开工具箱，不仅会带来惊喜，也会带来深刻的见解。
三个模型：扑克牌、梯子和树
现在用工具箱框架来考虑一个二人世界，我们的任务是，找出芭比和卡尔谁是更聪明的那一个，本章结束时将会让更聪明的这个人“晋级”。芭比和卡尔拥有不同的大型工具箱，不过芭比工具箱中的工具比卡尔的更多。芭比已经20岁了，卡尔却只有15岁，所以芭比比卡尔更聪明一些也不足为奇。但是在工具箱框架中，芭比要想比卡尔更加聪明，意味着卡尔拥有的每一个工具，她都拥有，同时她还拥有一些其他工具。如果不是这样，卡尔就可能做出比芭比更大的贡献，可能会更成功，因为他可能有更合适的工具。
可以采取三种方法来确定芭比是不是确实比卡尔更聪明。这些工具是彼此不相关的，就像一副扑克牌中的若干张牌。而在其他模型中，工具之间是存在联系的，要掌握一个工具，可能需要先学会其他一些工具。例如，数学家学起物理学来要比历史学家更容易一些。学习代数需要先掌握加减乘除。可以把这种情况想象成一架梯子上的梯级，或者一棵树上的树枝。
模型1：扑克牌模型
在第一个模型中，芭比和卡尔从装着52个工具的完全相同的箱子中随机选择工具。这些箱子代表了某人可能获得的工具的集合。他们的选择代表了经验、机会、偏好和能力，正是这些使他们能够获得一些工具。为了使这个例子更形象一些，你可以把这52个工具与一副标准扑克牌中的52张牌联系起来想象。这里想要确定的是，芭比拥有卡尔所拥有的全部工具的概率。要确定这个概率，需要进行三个独立的计算：芭比可以选择的不同工具箱的数量；卡尔可以选择的不同的工具箱的数量；芭比工具箱包含卡尔工具箱的概率。
在进行这些计算的时候，仍然可以利用扑克牌来帮助思考。假设芭比要从一副扑克牌中选择20张牌，第一步，她先选择52张牌中的任何一张。与此类似，第二步她可以选择51张牌中的任何一张……以此类推。通过这种方式，她可以构建的可能的工具箱数量等于52×51×50×…×33。但是，这个计算方法还考虑了她选择扑克牌的顺序。如果她先选择了红心A、再选择黑桃J，与她先选择黑桃J、再选择红心A，是属于两种选法的。
因此，为了得到正确的可能的工具箱数量，还必须再除以相同的20张牌可以重新排序方式的数量。与此类似，可以先放下20张牌中的任何一张，再放下其余19张牌中任何一张……以此类推。这样排序的数量为20×19×18×…×2×1。于是，用第二个数字除第一个数，就可以得出不同的工具箱的总数为：
这就是说，大小为20的工具箱有大约12.6万亿个不同的组合。这个数量不仅仅远远超过了你能够在西尔斯百货和沃尔玛超市找到的工具箱的数量，它甚至也远远超过了从古至今曾经在地球上生活过的所有人的数量（其单位为10亿）。如果将这个数字与可能的智商分数（最多只有几百）进行比较，就可以更加清楚地看到，工具箱框架可以刻画出多大的多样性了。
得承认，当像前面那个例子中大卫的父母那样说“每个人都不一样，每个人都有自己独特的一套技能”时，很多人都会觉得很虚伪。但是，上面的数学计算表明，这种看似“考生之谈”的观点其实是建立在坚实的基础之上的。每个人都可以与众不同。每个人有这么多的工具箱可以选择，即使是美国著名诗人沃尔特·惠特曼和著名天文学家卡尔·萨根这样的人都将对工具箱多样性“肃然起敬”。
上面这个例子还没讲完；还必须对卡尔的工具箱进行类似的计算。计算结果表明，卡尔有4 481 381 406 320个，或者说大约有4.5万亿个工具箱可供选择。这是前两个计算，它们提供了进行第三个计算所需的大部分信息。为了算出这个概率，给卡尔任意分配了15个工具，并计算出了芭比的工具箱中包含这些工具的百分比。从扑克牌中取走卡尔的15张牌，剩下37张牌，芭比可以选择其中5张。与计算芭比和卡尔可能工具箱的数量时所用的方法相同，可以计算出芭比再选择5张牌时可以用的方法数量：
现在，我们眼前已经晃动着很多数字了，为了不至于落入“只见树木、不见森林”的陷阱，先回过头来看一下已经计算出了哪些东西。在芭比可以选择的12.6万亿个工具箱中，只有不到50万个包含了卡尔的所有工具。43.5万除以12.6万亿，就可以得出芭比的工具箱包含了卡尔的工具箱的概率大约等于1/289 046 788。这也就是说，芭比拥有卡尔所拥有的每一个工具的概率大约是三亿分之一。在此不妨用美国的情况来做个类比。现在，大约有三亿人生活在美国，所以芭比拥有卡尔所拥有的每一个工具的可能性与你在美国每个人都买一张彩票的博彩中获得唯一大奖的可能性是一样的。
不要忘记，在进行这些计算时，只假设了52个可能的工具，而且每个人的工具数量都不太多。然而，根据对工具的定义，一套可能的认知工具数量可能远远大于52个。工具可能有数千个，而且每个人掌握的工具，甚至是复杂工具的数量也可能大大超过20个。在这里使用比较小的数字，这样就可以运用扑克牌这个比喻来说明很多问题，同时还有利于计算。在现实中，可能的工具箱数量可能远远超出了人类的感知能力。13
工具的组合
正如已经讨论过的，认知工具组合起来更有价值。工具是具有超可加性的。由于工具组合的数量远远超过了工具的数量，所以这种超可加性对于我们来说意义重大，尤其是想对不同人的智能进行比较的时候。一个拥有20个工具的人，也拥有190对工具、1 000多套“工具三件套”。当然，并不是所有的工具组合都有“重大意义”，有些工具组合甚至没有任何意义。例如，“72法则”的“反其道而行之”就似乎完全说不通。难不成有个“27法则”吗？而且，有些组合根本不能产生新的工具。例如，法语加上微积分仍然是微积分，尽管在法语中，微积分被称为“calcul”，而不是“calculus”。无论如何，许多工具组合，例如进化博弈论、物理化学和贝叶斯统计都已被证明是极其重要的。
工具组合的重要性还意味着，直接比较工具的比例可能会把我们带入歧途。例如，假设芭比知道卡尔的15个工具中的13个，那么她拥有卡尔工具的13/15或87%，所以有人可能会据此认为芭比几乎知道卡尔所知道的所有工具。但是，这并没有考虑到卡尔拥有的工具组合。卡尔的15个工具可以创造105对工具。而芭比拥有的卡尔所拥有的13个工具却只能创造78对工具。表5-4给出了芭比和卡尔所拥有的各种工具组合（最多由5个工具组成）的数量，以及芭比拥有卡尔拥有的工具组合的百分比，假设芭比拥有卡尔所拥有的15个工具组合中的13个。
表5-4 芭比工具箱包括卡尔工具组合的概率
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从表5-4中的数字可以非常清楚地看出，芭比只拥有卡尔工具组合中的一小部分。卡尔的15个工具可以生成超过3 000个由5个工具组成的工具组合。而芭比的13个工具却只能产生不到一半的工具组合。
模型2：梯子模型
要计算芭比拥有卡尔所拥有的工具以及工具组合的概率，必须依赖于一个隐含的关于工具相互之间联系的假设，也就是说，假设工具之间不存在任何相关性。敏锐的观察者应该已经注意到了在进行上述计算时有一些“欺骗”行为，这里假设任何人都可以获得任何工具。而这个假设就意味着有人可以不先学会加法就直接掌握量子物理，或者说有人能够先不掌握基础逻辑知识，就可以学会对计算机进行编程。这种假设无疑是粗糙且不切实际的，但是，这有助于推进研究。在这种最简单模型的基础上，可以一步步地修改模型，例如，进一步假设工具服从于某种拓扑或网络结构，比如说梯子或者树，它们会对工具进行某种排序。接下来就来看看这样做会得到什么结果。
获得工具的顺序是非常重要的。要理解这一点，可以想象一架梯子，然后在这架梯子上安排52个工具，并用1～52的数字给它们编号（见图5-1）。现在，任何一个人都必须依序获得工具了。对于一个想获得第7号工具的人来说，她必须先获得第1号到第6号工具。在这个梯子模型中，20个工具的可能组合数量从12.6万亿个骤然减少到了1个。芭比的20个工具必定是第1号到第20号工具。同样，卡尔的15个工具也必定是第1号到第15号工具。
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图5-1 工具之梯
现在，芭比拥有了卡尔所拥有的所有工具。在这种情况下，说芭比比卡尔更聪明完全没问题。芭比拥有卡尔的每一个工具，所以她也拥有他所拥有的所有工具组合。任何卡尔能解决的问题，她也都能够解决。因为她还有卡尔所没有的其他5个工具，所以她还可以解决卡尔无法解决的许多问题。
多架梯子
把所有的工具放在同一架梯子里，其实是在另一个方向上犯了错误，我们在工具集上施加了太强的结构。虽然人们当然无法获得可能选择的所有工具，但是他们同样不需要严格按照某个特定顺序去获得所有工具。例如，一个人没有学过物理知识，并不意味着他不可以学习一些化学知识。或者，一个人在懂得怎样造句的情况下，也可以开始学习一点代数知识了，当然，学习代数确实需要知道如何计算加减法。因此，一方面世界上存在着不止一架梯子，另一方面，我们在获得工具时，还可以分层次地安排工具。
为了刻画某些工具之间有层次性、某些工具之间不存在层次性这个特征，可以运用多架梯子。先假设52个工具可以安排在两架相同尺寸的梯子上，而且在每架梯子上，工具都可以用1～26的数字编号。这样一来，为了掌握梯子上的第5个工具，就必须先学会同一架梯子的第1号到第4号工具。
在这种情况下，计算芭比工具箱包含了卡尔工具箱的概率变得有点困难，但是仍然可以计算出来。首先要将卡尔的15个工具分配到两架梯子上去，要做到这一点，有16种不同的方法。可以在第一架梯子上安排0～15个工具，并把剩余的工具安排到另一架梯子上。这就是说，有16种可能的组合。同样，芭比有21种不同的方法将20个工具分配到两架梯子上。运用同样的逻辑，假设卡尔选定了一个包含了15个工具的工具箱。如果芭比的工具箱包含了卡尔的工具箱，那么她还剩余5个工具可以分配到两架梯子上去。因此，在芭比可以用来分配她的工具的21种方法中，对于卡尔的每一种分配，都刚好有6种方法包含了卡尔的所有工具。因此，芭比工具箱包含卡尔工具箱的概率是6/20，即大约为28%。
表5-5给出了芭比工具箱包含卡尔工具箱的概率，它是梯子数量的一个函数。随着梯子数量从两架增加到3架、4架，芭比工具箱包含卡尔工具箱的概率会显著下降。
表5-5 芭比工具箱包含卡尔工具箱的概率是梯子数量的函数
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由表5-5可见，当有5架梯子的时候，芭比拥有卡尔所有工具的概率就低于0.01%了。这个数字已经很小了，虽然还不像在假设工具之间不存在结构性关系的情况下那么小。
模型3：树模型
工具的梯子模型在数学上处理起来相当方便，但是它并没有刻画存在于许多工具之间的分支关系。如果一个人学会了如何烤面包，他通常就很容易学会怎样做馅饼或乳蛋饼。在这里，烤面包是根，乳蛋饼和馅饼是从根里面分出来的枝。不过，学会制作乳蛋饼对于学习制作馅饼没有什么帮助，学会制作馅饼、馅料都对学习制作乳蛋饼有一点点帮助。因此，可以从一棵果树上得到分支，但不能从一架梯子上得到。或者，举一个更专业一点的例子，如果一个人学会了如何求微分，那么他可以进一步学习如何求积分或解微分方程。不过，在解微分方程时，他却不一定会用到积分；求积分时，他也不一定需要知道怎样解微分方程。
为了刻画工具之间的这种根与枝的关系，可以用树模型替换梯子模型。树可能相当复杂，但是为了便于处理，假设所有树都只有两个分支，也就是说每个节点都有两条边（见图5-2）。
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图5-2 工具之树
再假设，在积累工具的过程中，每个人都沿着一棵树上的一条路径往下走。虽然事实上，人们可以沿着多条路径走下去，但是假设只按一条路径走会使数学处理变得容易得多。给定上面这两个假设，就可以计算芭比拥有卡尔所拥有的每一个工具的概率。这些计算仅需要对梯子模型的计算稍加修改就可完成。首先，把树看成梯子。要想让芭比拥有卡尔所拥有的每一个工具，她在每一棵树上都必须拥有至少与卡尔同样多的工具。她在这种梯子间正确分配的概率与梯子模型中相同。此外，她还必须在每个节点上选择与卡尔相同的分支。如果卡尔最初选择左分支，那么芭比也必须选择左分支。在某个节点上，她选择正确的概率等于1/2，但她必须在所有分支选择中都做到这一点。
进一步假设，只有一棵树。在这棵树上，卡尔必须做出14个分支选择。因此在这棵树上，芭比知道卡尔所知道的每一个工具的概率等于她在每个分支上做出了与卡尔相同的选择概率。这个概率等于1/214，即大约16万分之一。再一次看到，这是一个相当小的数值。而且这还是假设只有一棵树情形下的结果。如果有两棵树，芭比仍然必须正确地选择每一个分支。此外，她还不得不为每棵树都分配足够数量的工具。利用梯子模型可知，她能做到这一点的概率是29%。这就是说，如果有两棵树，她知道卡尔所知道的所有工具的概率就更低了。
可以从这些计算中得出这样的结论：无论计算涉及的工具是排列在树上还是梯子上，还是根本没有任何结构，一个人知道另一个人所知道的所有工具的可能性都是非常低的，除非可能的工具数量很少。给定任何两个人，每个人可能都拥有一些不为对方所知的工具。然而，如果第一个人拥有更多的工具，那么我们经常会忍不住认为第一个人是更聪明的一位。其实不然。他可能会在标准化考试中取得更高的分数，但是在某个特定的任务中，他不一定会表现得更好，他的未来也不一定会更加成功。另一个人则可能做出更加伟大的科学发现或发明更加宝贵的专利技术。那么，如果我是雇主，应该雇用谁呢？
掌握更多独特的工具很重要
可以追问一下：一个人拥有的工具数量是否可以作为他智能的一个合理的代理变量。如果是这样的话，就仍然可以按照单一维度来进行排名，只不过这个维度所对应的是工具箱的大小。为了方便讨论，将使用容量（capacity）这个术语来描述一个人掌握了多少工具。每个人的容量都是不同的。这可能是由于先天的原因，也可能是由于他自己的经验或选择所致。如果只有一架梯子，那么利用容量就能给出一个完整的排名，但是随着梯子或树的数量增加，单凭容量就无法再生成排名了。因为以下这种情况是完全有可能的：一个人的容量比另一个人更大，但是却不一定拥有另一个人所拥有的工具。
梯子和树的数量决定了容量能不能产生排名，这对于解释为什么不同的群体对是否存在衡量智能的客观指标有不同的看法非常重要。
在数学等学术领域内，梯子或树的数量相对来说可能很少。代数需要加法和乘法，微积分需要代数，微分方程需要微积分。一个拥有更大容量工具箱的数学家可能了解另一位其他领域且工具箱容量较小的数学家的大部分工具。而在时装设计等领域，许多工具可能都是视角和解释，也就是看待世界的方式。在这些领域，梯子或树的数量可能是巨大的，因此，容量较大的人并不知道容量较小的人的所有视角，除非容量差距极大。
在文学这样的领域，对某个作者的写作方法或意象的了解都可能被视为一种工具，因而梯子的数量是非常大的。不需要理解英国作家安东尼·特罗洛普（Anthony Trollope）对意象的运用，也能理解美国诗人埃兹拉·庞德（Ezra Pound）的意象。因此，在文学、艺术或哲学领域，学者们不太可能出现根据智能来对人进行排名的想法。而且，也极少有人拥有其他任何人所拥有的全部工具，即使接近也不怎么可能。尽管在不同的人之间，容量可能是不同的，但是它不被视为衡量智能差异的指标，正如身高或体重一样。表5-6和5-7给出了若干学术和职业领域的梯子和树的数量。
表5-6 学术领域中的“梯子／树”的数量
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表5-7 职业领域中的“梯子／树”的数量
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这些表格有助于解释，关于智能的排名是否有可能实现，为什么不同行业的人会歧见丛生。在大学里，文学教授、艺术史学家和哲学家一般都认为各种度量智能的指标都过于简单化了。物理学家和数学家则认为它们还是有意义的。这两种结论在各自的领域内可能都是正确的。与此类似，我们也认可对短跑运动员或拳击运动员的排名，这些职业的梯子或树的数量相对来说非常少。但是，我们认为对小说家的排名是不合情理的。谁能说美国小说家约翰·厄普代克（John Updike）比诺曼·梅勒（Norman Mailer）更好或更差呢？怎么能对儿童文学家H. A.雷伊（H. A. Rey）与让·德·布鲁诺夫（Jean de Brunoff）和洛朗·德·布鲁诺夫（Laurent de Brunoff）父子排个先后呢？这样做的话，与对猴子和大象进行比较有什么区别？
智能＝认知工具多样性
工具箱框架提供了对用来刻画智能的智商测试得分的另一种解释。有些工具被广泛使用，例如，很多人都知道怎样进行加减乘除计算，但是却很少有人知道如何求逆矩阵；至于更加复杂的工具，比如说通过计算李雅普诺夫指数（Lyaponuv）来确定动力学系统的稳定性，那就更加只有内行的专家才知道了。一个人的智能取决于他所拥有的工具，而不可能仅仅是智商测试的成绩。当然，智商测试以及其他测量手段仍然是有价值的。加德纳和其他一些学者给出的智能指标是有很坚实的科学基础的。智商测试和SAT成绩，确实可以很好地预测人们在类似考试中的表现，就像百米冲刺所需的时间能够很好地预测人们能够以多快的速度追上公共汽车一样。但是一般来说，智能测试成绩并不能很好地预测一个人未来能不能取得成功。
例如，美国研究生入学考试（GRE）成绩与研究生能不能进入论文阶段密切相关，研究生要想进入论文阶段，通常必须通过这个考试。这就解释了为什么会有那么多的大学要求学生先通过这个考试。为什么要录取几年后可能遭受失败的学生呢？研究表明，GRE成绩并不能很好地预测学位论文的质量。14这也就是说，GRE成绩不能用来衡量那些需要更多思考和时间才能用好的工具，也不能衡量产生好的研究论文所必需的那些工具。写论文需要创造新的知识，创新需要的工具，不同于应付考试的工具。
一般来说，考试成绩只能提供一个非常粗略的指标。考试成绩方面的小差异并不重要，有时甚至连大的差异也不重要。从工具箱的角度思考，会使我们质疑对人进行排名的可能性，除了很有限的某些特殊领域之外。工具箱能帮助我们看清人的差异。另外，当从工具箱的角度思考的时候，我们会更加坚信个人未来成长具有无限可能性。也许不能一夜之间变得聪明许多，至少组织智商测试的人是这样告诉我们的，但是我们可以添加工具。随着时间的推移，可以变得越来越强大。尽管所有这些，已经构成了利用工具箱、弃用测量棒的充分理由，但是它们本身并不是为什么要构建工具箱框架的原因。之所以建立这样一个框架，是为了便于分析群体解决问题方法和不同人群的预测。这也正是接下来要阐述的内容。
