在他被投票选举为三一学院的一名研究员后的许多年里，牛顿或许并没有十分努力地推动他在作用力和运动方面的工作向前发展；但在17 世纪80年代，他是一个比他在17世纪60年代瘟疫发生期间更伟大的知识 分子。他拥有更成熟的数学思想，并且在对炼金术的研究中获得了更多 的科学经验。一些历史学家甚至相信正是由于他花费了很多年来研究炼 金术，才促成他取得了运动科学的最终突破，引导着他写出了《数学原 理》。
有趣的是，促成牛顿取得突破的其中一个催化剂是罗伯特·胡克5年前写给他的一封信。胡克在信中提出了一种观点，他认为轨道运动可以 被视作是两种倾向不同的运动的总和。设想一个天体（例如一颗行星） 围绕着另一个吸引它的天体(例如太阳）做圆周运动。假设这个沿轨道 运行的天体有一种以直线继续运动的倾向——也就是说，飞离它的曲线 轨道，直接向前冲出去，就像在下雨天转弯时打滑的一辆汽车。数学家 把这种情况称为沿切线方向离开（切向运动）。
现在再设想一下，这个天体还有第二种倾向，一种指向这个轨道中 心的吸引力。数学家把沿着这个方向的运动称为径向运动。胡克说，径 向运动倾向可以补充切向运动倾向，因此，两者相加，便产生了轨道运 动。
人们很容易看到这个观点在是如何引起牛顿共鸣的。在回忆起那封 信后，为了完善伽利略的惯性定律，牛顿在他的杂记簿中假设说所有天 体都倾向于沿直线运动，除非受到某种外部原因，或作用力的干扰。对 于一个沿轨道运行的天体而言，它的第一倾向——沿直线方向离开轨道 ——是那个定律的自然结果。牛顿意识到如果在那种情况下再加进一种 作用力，一种吸引天体朝向轨道中心的作用力，那么就可以为径向运 动，也就是胡克的第二个必要因素提供解释。
但如何以数学形式来表述它呢？特别是，如何才能在平方反比定律 的特定数学形式和开普勒发现的轨道的特定数学性质之间建立起联系 呢？ 设想将时间切分成极小的间隔。在每一个间隔中，沿轨道运行的物 体可被认为在做小幅切向运动的同时，也在做小幅的径向运动。这两种 运动交织而成的网将物体拉回到它的轨道，但此时它离圆周的距离要比 它开始时的地方远一些。这种情况多次重复的结果就形成了一个锯齿状 的环形轨道，如图所示。
切向运动和径向运动形成了圆周运动 在这样一个轨道中，如果时间间隔足够小的话，人们可以按照希望 的那样把运动路径设想成无限接近于圆形。在这里就可以应用到牛顿的 微积分：如果时间间隔是无穷小，为了所有实用目的，运动路径就是一 个圆形。
那就是牛顿的新数学支持他创造的对于轨道的描述。一个沿轨道运 行的物体沿切线方向运动，又沿径向方向“降落”，从而形成一个锯齿状 的运动路径，他将这些画面整合在一起——接着他又考虑极限情况，在 这种情况下，锯齿的直线部分小到可以忽略不计。那将有效地抹平运动 路径上的锯齿，从而得到一个了圆环。
按照这种观点，天体因为受到一种把它拉向某个中心的作用力的影 响而不断地偏离它的切向路径，轨道运动指的就是这种天体运动。只有 实践才能说明好不好：通过在他的轨道数学中使用平方反比定律来表述 向心力，牛顿成功地证明了开普勒的三条定律，就像哈雷要求的那样。
牛顿最伟大的成就之一就是他证明了自由落体和轨道运动都是同一 种作用力和运动定律的实例，因为它一次性地否定了亚里士多德所说的 天空和地球是不同王国的论断。如果说伽利略的天文观测揭示了其他行 星的特征和地球没有什么两样的话，牛顿的工作证明了自然定律也同样适用于其他行星，而非地球所独有。
然而，即使在1684年，牛顿对于重力和运动的见解也不像那个苹果 落地的故事所表现的那样是一次醍醐灌顶般的顿悟。 相反，重力普遍 存在这个重要观点似乎是牛顿在修订《数学原理》早期草稿时才逐步发 展形成的。
之前，科学家怀疑行星是否会施加一种重力作用力，他们相信行星 的重力只影响它们的卫星，而不会对其他行星产生影响，就好像每颗行 星都是一个独立的世界，拥有自己的定律。确实也是这样，牛顿自己刚 开始研究时也只是怀疑物体落向地球的原因是否只可以用来解释地球对 月球的牵引力，而不能解释太阳对其他行星的牵引力。
这是一种证明，对牛顿创造力的证明，对他跳出常规模式来思考问 题的能力的证明，他终于开始质疑那种传统的思考方式了。他给一位英 国天文学家写信，希望得到1680—1684年间关于彗星的数据，以及当木 星和土星相互靠近时它们的轨道速度。在使用这些精确数据进行了一些 使人筋疲力尽的运算并对比结果之后，他开始相信同样的重力定律到处 都可以适用——不单在地球上，也在所有天体之间。他修订了《数学原 理》的内容来反映这种情况。
牛顿定律的力量并不单单只体现在它们革命性的概念内容上。利用 这些定律，他也可以做出空前精确的预测，并把它们和实验结果进行对 比。比如，使用月球距离和地球半径的数据，并把月球轨道因受到太阳 牵引力的影响而发生的变形、地球自转时产生的向心力，以及地球的形 状并非一个完美的球体等这样的细节考虑在内，牛顿推断说，在巴黎的 纬度，一个物体从静止状态掉落，它在第一秒降落的距离是4.58米。从来都是一丝不苟的牛顿通报说这个数据同实验结果相比要精确1/3 000。并且，他还不辞劳苦地用不同的材料来重复这个实验——金 子、银子、铅块、玻璃、沙子、盐、水、木头以及麦子。他断定，每一个单一的物体，无论它们的成分如何，也无论它们是在地球上还是在天 上，都会吸引其他物体，并且这种吸引力永远遵循同样的定律。
