墨顿的学者们所承担的任务并不轻松，对运动进行哪怕是最简单的分析所要用到的数学知识在当时至多也是原始的。而他们还面临着另一 个严重的困难，战胜这个困难比起使用当时有限的数学知识取得成功是 一个更大的胜利，因为它并非一个技术障碍，而是人们思考世界方式的 局限性：和亚里士多德一样，墨顿的学者们受到一种世界观的束缚，在 这种世界观里，时间发挥的作用是性质上的，是主观意识上的。
生活在发达世界文化之中的我们感知时间流逝的方式对于早期的人 们来说是无法理解的。在人类的大部分历史中，时间是一个有着高度伸 缩性的框架，它以一种完全隐秘的方式延展和收缩。学会把时间看作是 固有主观性以外的东西，这一步很难，但却影响深远，它对于科学进步 的意义就和语言的发展或者人类意识到世界能够通过推理被认知的意义 一样重大。
比如，找出事件发生时间的规律——想象一块石头从4.88米高的地 方掉下来总是只需要一秒——在墨顿学者们的时代将会成为一个革命性 的概念。首先，在当时没有人知道该如何精确测量时间，分和秒的概念 更是闻所未闻。 实际上，直到14世纪30年代，第一个以相等长度记录 小时的钟表才被发明出来。在这之前，白天无论有多长都被划分为12个 相同的间隔，这就意味着6月的“一个小时”或许是12月的“一个小时”的 两倍还要多（比如在伦敦，以今天的分钟来计算它的变化范围是38~82 分钟）。而这并没有给任何人造成不便，这也反映出一个事实，一个模糊的和定性的时间概念对人们来说就已经够用了。考虑到这些，速度 ——单位时间内运动的距离——在当时一定会是一个非常怪异的概念。
即使面对如此多的困难，墨顿学者们也神奇地为研究运动创造了一 个概念性的基础。他们甚至还提出了有史以来第一条量化的运动定律 ——“墨顿法则”：物体从静止状态开始持续加速所经过的距离，和以加 速物体最高速度一半的速度运动的物体在相同时间内经过的距离相同。
必须承认这条定律很拗口。尽管我很久之前就熟悉它了，但现在再 看时，我还要再读两遍才能搞清楚它要表达的意思。但这条定律语法结 构的晦涩难懂也不是没有用处，它让我们看到了一旦科学家学会使用 ——以及发明，如果有必要的话——恰当的数学工具，科学会变得有多 容易。
使用今天的数学语言，“物体从静止状态开始持续加速所经过的距 离”可以写成? a ×t2 。第二个量，“以加速物体最高速度一半的速度运动 的物体在相同时间内经过的距离”可以简单地写成? ( a ×t) ×t。所以，墨 顿法则的表述翻译成数学公式就变成了：? a ×t2 = ( a ×t)×t。这样不但 更紧凑，也让陈述的事实一目了然，至少对学过初级代数的人来说是如此。
如果这些日子早已离你远去，只需要问一个六年级的学生——他就 懂。实际上，今天一个普通的六年级学生懂得的数学知识要比14世纪最 前沿的科学家还要多。28世纪的儿童和21世纪的科学家是否会说出相似 的表述，这会是一个有趣的问题。当然，人类的数学技能几个世纪以来 一直都在稳步发展。
墨顿法则所表达的意思可以用一种日常生活的例子来表示：如果你 把车从零稳步加速至每小时100英里，你所开出的距离会和你以每小时 50英里的速度在相同时间内开出的距离一样。这听起来像是我母亲唠叨我开车速度太快，但尽管墨顿法则在今天已经成为常识，当时墨顿的学 者们却没有办法证明它。尽管如此，这条定律还是在知识界引起了相当 大的轰动，它很快就传到了法国、意大利和欧洲的其他地区。证明方 法不久之后就出现了，它是由来自英吉利海峡对岸巴黎大学的法国学者 们发现的。它的作者名叫尼克尔·奥雷姆（1320—1382），既是一位哲 学家又是一位神学家，最后还升任了利雪地区的主教。为了证明默顿法 则，奥雷姆不得不做一件古往今来所有物理学家一直在重复的事情：发明新的数学工具。
如果说数学是物理学的语言，那缺乏恰当的数学工具将会使一个物 理学家无法开口讲话，甚至无法推导一个命题。为了用公式表达广义相 对论，爱因斯坦使用了复杂和不常见的数学公式，这或许也是为什么他 曾经建议一个年轻的女学生说：“别担心你学不好数学：我可以向你保 证我面临的困难更大。” 或者像伽利略说的那样：“（大自然）这本书 是无法读懂的，除非你首先学会理解和读懂写成它的语言和字母，它由 数学这种语言写成，它的文字是三角形、圆形和其他几何图形，没有它 们，人类就无法读懂其中哪怕一个单词；没有它们，人类只能在黑暗的 迷宫里徘徊。”为了照亮这个黑暗的迷宫，奥雷姆发明了一种图表去表述墨顿法则 中的物理现象。尽管他不是以我们现在的方式理解他的图表，但有人认 为它是第一个物理运动的几何表述方式——以及第一个曲线图。
我一直感觉很奇怪，尽管没有多少人使用微积分，但很多人都知道 它的发明者是谁，而人人都在用的曲线图的发明者却没有几个人知道。
我猜这可能是因为在今天曲线图的概念看起来平淡无奇的缘故吧。但在 中世纪，使用线条来代表数量，使用表格来表示空间的想法却是一种卓 越的革命性原创，甚至有一点儿古怪。
为了让大家对使人们思维方式发生哪怕是最简单改变的困难程度有一个概念，我想讲讲另一个古怪发明的故事，一个完全和数学无关的故 事：便利贴，这种小纸片的一边带有可重复使用的条状黏合剂，可以很 容易地把它们贴在其他物体上。便利贴是在1974年由3M公司的化学工 程师阿拉伯特·弗里发明的。设想一下，假如当时它们没有被发明出 来，今天我带着这个点子和一个样品走到作为投资者的你的面前。你当 然会把它视为一座金矿，并为了得到这样的投资机会而高兴得跳起来， 对吗？ 大多数人很有可能不会，这看起来或许很奇怪，但发生的事实证明 了这一点。当弗里把他的点子展示给3M公司市场部的人看时——这是 一家以黏合剂和创新而闻名的公司——他们并没有表现出多大的热情， 并认为这种东西会很难销售，而且同它原本计划要取而代之的便笺相 比，它还需要溢价。为什么他们没有冲过去拥抱弗里提供给他们的发财 机会呢？因为在“前便利贴”时代，把带有黏性胶带的小纸片贴在其他 东西上这种概念超出了人们的想象。所以阿尔伯特·弗里所面临的挑战 不仅仅是发明出产品，更是改变人们的思维定式。如果把便利贴的故事 看作一场登山战役，那你就能够想象出当你试图在一些至关重要的领域 做同样的事情时，你面对的困难究竟有多大了。
展示墨顿法则的图表
幸运的是，奥雷姆的证明并不需要便利贴。下面是我们对他的论证 的分析。首先，把横轴设为时间，纵轴设为速度。现在设想一下你考虑 的物体从零时开始以恒定的速度向前运动了一段时间。这段运动以一条 水平线表示。把这条线下面的区域涂上阴影，你将得到一个长方形。另 一方面，持续的加速度用一条向上倾斜的线条表示，因为时间在增加， 所以速度也在增加。如果把这条线下方的区域涂上阴影，你会得到一个 三角形。
这些曲线下方的区域——阴影区——代表速度乘以时间，也就是物 体运动的距离。如果你会使用这种分析方法，并知道如何计算长方形和 三角形的面积，你就能够很容易地证明墨顿法则的正确性。
奥雷姆没有获得应得的荣誉，其中一个原因是他的大多数作品并没 有发表。此外，尽管我已经解释了我们将如何使用今天的方法分析他的 工作，但他实际使用的概念性框架并不如我描述的那样详细和量化，并且和我们今天所理解的数学和物理变量之间的关系完全不同。新的理解 起源于一系列涉及空间、时间、速度和加速度概念的创新，而它们是伟 大的伽利略（1564—1642）最重要的贡献之一。
