2、我们上面说过，几何学不是一种与生俱来的本能，而是后天学习得来的知识。人从婴儿时代开始，大脑就试图把视觉和其它感觉联系在一起，随着经验的增长，这种联系越发的紧密，大脑一旦熟悉了这种联系，就会把这种联系作为常识，便不再勤加思考。这种常识时常禁锢了我们的思维！其实并没有什么东西限制人类的想象力！大脑可以通过逻辑，通过类比，通过推理来想象和理解任何一种事物，其中也包括空间。今天的数学家们已经发展出了欧式几何、射影几何、微分几何、代数几何和非交换几何，他们不受任何空间维度的拘束或限制，他们甚至研究无穷维的空间。这一切全靠人类自身非凡大脑的创造力！
上面的图是前文的总结。欧式几何学是大家非常熟悉的通常意义上的空间几何(这里暂限定为3维)，射影几何学是眼睛和大脑主观上感受到的几何学(大多数人熟悉又陌生)。Maxwell 方程一般的读者了解较少，它将是接下来的主角。
Maxwell方程代表的电磁相互作用，是一切感官的物理学基础。仅以人类的感官为例，视觉、听觉、嗅觉、运动觉等等所有接受到的外界信息，只有转化为神经元的电位信号才能为大脑知道。眼睛和大脑处理视觉的生理学过程异常的复杂，但是所有这一切过程的物理学基本规律却相当地简单！
理论物理学家喜欢用作用量S来描述最基本的物理学规律。为了探索更高维度的空间，我们必须先了解我们所生存的三维空间。开头已经写下了三维空间下的Maxwell方程组，这里用更现代更时髦的语言，把时间也当作一个维度，不过时间和空间还是有些区别，为了区别它们，把时间坐标乘上虚数
，这样就可以把时间维度完全当作空间维度来处理。下面的内容，答者有时候会用空间，有时候会用时空，读者需要注意时空比空间多一个时间维，希望不要弄混了！像上面可见光和视黄醛分子里的电子的电磁相互作用规律就是
，-e表示电子带1个基本电荷单位e的电量，负号表示电子带的是负电，整个“原谅色”标记的部分像一个矢量
，不过它也确实是矢量，这个后面再说。表示光子自身的作用量是
。表示电子的作用量是
。把这三项和而为一，就是
这就是所有已知生物感知这个美妙世界的共同的物理学基础规律。小到简单的原核生物、病毒(如果算生命的话)，大到蓝鲸，包括曾经存在这个地球已经灭绝的霸主恐龙，都是直接或间接通过电磁相互作用来和这个世界交流。
如果人类真的能在四维空间用眼睛看到什么些稀奇古怪的玩意儿，那么这个拉格朗日量在五维时空同样起作用。看起来好像是如此，只要把时空维度换成五维
就行了！但是魔鬼隐藏在细节之中，这个作用量还不是最根本的物理学规律。目前已知的最根本的物理学规律是标准模型
这是关于已发现的物质世界的物理学规律最为浓缩、最为精炼的形式！
表面上没有上面的光子和电子的拉氏量
的内容。要找到
里的东西，你需要在下面这张经常用来劝退人的
变种图里仔细寻找。答主已经好心帮读者用蓝色墨水笔标出来，所以大家不要费力气找了！
标准模型的拉氏量
里的大
代表左手的费米子
大
代表右手的费米子。读者会发现
和
明显的不一样。这体现了我们世界的一种不对称性，这种不对称是两个年轻的中国人发现的。答者贴一下两人的图，你们一看就知道是谁了！
我们的三维空间有一种特性是四维空间所没有的，那就是手征性！读者只要看下自己的双手就会明白！左右手是不同的，是互为镜像的。读者可以找块大的镜子，看看左手在镜子里的像是不是和你的右手一样？镜子里的世界和外部世界相比左右互换了。物理学家们相信物理学规律是左右对称的，从来没有怀疑过左右不对称的可能性，直到那两个年轻人出现。让绝大多数物理学家翻车的是大
列矩阵里的
，它表示的是一种中性粒子叫中微子。中微子不带电，所以不和光子也就是电磁场发生相互作用。因此，尽管有数以亿计的中微子穿过我们的身体，我们感觉不到它的存在。中微子被发现的动机是物理学家们在检查核反应后所有反应产物的能量后，总是少了一部分能量。这让物理学家比较郁闷，部分物理学家想要放弃能量守恒定律，他们中的代表人物是大名鼎鼎的玻尔。不过也有物理学家坚定的相信能量守恒定律，“上帝的教鞭”泡利就是这样的人物。泡利认为，有一种中性的微小粒子带走了能量，后来果然证明了泡利的推断。
稍稍有些跑题，我们回归正题。手征性体现在标准模型里，就是费米子要像脑裂人一样，分别按左右两套不同的规则运行。读者会在
发现有
(左边的一半)和
(右边的一半)。
和
里的
是各种费米子场的简写，在微观世界里，粒子不像宏观世界那么有个性，它们的作用量其实都是
。细心的读者会发现各种场下标会带个L或R，这个L或R表示其是左手或是右手。左右的定义依赖于一个矩阵
，它的定义是
。
(左右费米子定义)。
里有一个四维时空独有的张量
，某些读者对它的空间分量
更熟悉，三维空间的矢量运算叉乘
就含有
。
我们可以看看费米子的左右两套规则是如何运行的？
读者会发现左手费米子的规则要远比右手费米子的规则复杂一些。左手电子和左手的中微子组成了个列矩阵，叫做同位旋二重态。我们可以打开左手的公式
定义
，
，
，
，
。
左手的公式变为
读者会从左手费米子的规则里发现
，可以和电磁相互作用比较一下
，读者可以很自然的猜测
，但是还是稍稍有些不同，
只是电子
的一半，我们讲过标准模型的费米子像脑裂人一般。那么能在右手费米子的规则里能发现另外一半吗？
相信读者已经找到答案！对于电磁相互作用来讲，左右两套规则是相同的。但是还有些被红绿棕三色标记的作用项在右手的公式里找不到对应的项。这表示这些相互作用是左右不对称的。同时读者也会发现造物主是如何设计世界。费米子和玻色子的相互作用都是这种形式
，
代表某种荷，
和
代表两种费米子场（可能是相同种类），
是玻色子，比如光子。
代表费米子作为荷
源产生的四维时空的流
，对于电荷，
表示电荷守恒律。
如果将左手和右手的费米子规则合而为一，得到下面公式
电子
除了可以和光子
相互作用外，还可以
、
发生关系。而中微子
没有和
发生关系的项，这和中微子不带电是一致的。
、
叫做中间玻色子是传播弱力的媒介子。只有左手的中微子
和三种中间玻色子发生关系，这可以解释1956年两位年轻人的发现，弱相互作用中宇称是不守恒的。
细心的读者会发现，
缺少
里电子的质量项
。电子当然是有质量的，隐藏在
里的汤川项里
。要想得到m
，真空需要处于特殊的态
。
真空是系统能量最低的态，这个真空的期望值
不等于0。上面那个劝退人的图就是
在这个真空态下的展开式。
标准模型也告诉了我们，为什么绝大多数生物选用光子作为信息传递的媒介。标准模型中有三种矢量玻色子
、
和
以及一种标量玻色子
。费米子的特性是同一个态只能由一个费米子占据，而玻色子没有这种限制。正是这种差异导致所有的物质(不是马克思主义哲学下的物质)都是由费米子组成的，费米子是刚性的来源，也是立体图形的现实来源；玻色子更适合传递力和携带信息。
和
叫非阿贝尓规范场，也叫yang-mills场。yang就是上面的年轻人中的一个，现在已经是老杨了。奠定老杨在物理学里江湖地位的就是提出了非阿贝尓规范场，不过老杨没有变得更牛逼，而只是非常的牛逼的原因，和那个标量玻色子
有关系。这些矢量玻色子场和电子一样，没有代表场的质量的平方项，要获得质量要靠标量玻色子
，它的外号叫“上帝粒子”！和电子的情况类似，当真空态是
时，从
项里能得到场的平方项。如下
中间玻色子
、
是有质量的，而上式没有
和
这样的项，这说明光子和胶子都没有质量。上述费米子场和矢量玻色子场获得质量的过程被叫做希格斯机制。正像死肥宅们几乎跑不动路，中间玻色子们只能传播很短的距离，显然不太适合做信息的携带者。
那么只剩下光子和胶子，我们可以先看看它们有什么不同？
首先胶子有8个，而光子只有一个。其次，胶子的场强里有这样的项
，这表示胶子可以和自己发生作用。和光子类似，胶子也能和费米子发生相互作用，不过它不能和轻子发生相互作用，而是只和夸克发生相互作用。
观察上式，读者会发现夸克的规则比轻子更复杂一些。不过夸克在我们的世界不能单独的存在。而是囚禁在重子和介子这些强子中。组成原子核的质子和中子是由三个夸克组成的。人类从未观察到过单独的夸克。单夸克的一个特性是带有分数个基本电荷，比如上夸克u带2/3 个基本电量，下夸克带-1/3 个基本电量。夸克还携带一种叫“色”的荷，它的流是
。所有已经发现的由夸克组成的强子都是无“色”的。之所以大自然禁止夸克单独存在，是因为传播色力的胶子之间的自相互作用强过了夸克和胶子的相互作用。
标准模型里还有些造物主的恶趣味。轻子和夸克皆有三代 ，就电磁相互作用来说，我们还能得到额外的两组一模一样的基础电磁学规律，不同的仅是费米子的质量不同，谬子
是电子e的肥宅版本，陶子
则是电子的死肥皂版本，而且搞笑的是陶子(轻子)比质子
(重子) 还重。轻子必须有3代，也和四维张量
有关系。
可以和非阿贝尓规范场
组成
，这种量出现在量子力学控制的单圈图过程中，要想消除这种量，轻子和夸克必须得是三代。
通过上面的分析，我们可以知道保证人类及已知生命存在的四维时空的物理学基本规律，在五维时空是不成立的。所以那些告诉你到了五维时空或者四维空间将要看到什么现象的科普是不正确的。在很多科普作品中，作者常常为了迎合读者的口味(说大白话就是不愿意读者费脑子)，直接用射影几何里面的关系，来代替欧式空间的关系。人类的大脑在其中经常推波助澜，因为它符合常识，符合大脑的预期。而这些作者常常没有意识到自己其实已经掉进了陷阱里。射影几何学是大脑最终呈现给我们的世界所遵循的几何学。但是有些时候，如果光所在的空间不是欧式空间，而是弯曲的话，就会有匪夷所思的事情发生，比如你可以不借助镜子就看到了自己的后背。在靠近黑洞的不稳定轨道上，有光子轨道组成的球面叫光球。如果有人恰好穿过光球，比如星际穿越里的库伯，他会看到自己的上下左右前后部分同时出现在扭曲的图像里，就好像看一副全息图一样。这个时候大脑想把看到图像按照射影几何的方式处理时，就会被黑洞给搞懵逼！
目前为止，还没有任何实验证据支持存在高于三维的物理学意义上的空间。不过物理学家们还是发展了一系列的高维度理论。许多人听说过的超弦理论就是一个十维时空的物理学理论，或者说有九个空间维度和一个时间维度的理论。
物理学家发展高维空间或高维时空理论的动机在于高维时空里的物理学规律会比我们所在的四维时空的物理学规律更加简单。读者也许会对此感到费解。还记得本文的第一个公式Maxwell方程组吗？这个方程组也许已经帮答主劝退了很多人。第一次见到这个方程组的人会发现方程里尽是些奇怪符号
、
、
，如果是积分形式还有
、
、
之类的。这是因为方程是用三维空间的语言写出的。我们可以看看这些三维空间的场或算符是到底是些啥玩意儿？
，
，
，
三维空间的运算
、
和
之间的关系相当的麻烦，比如学电动力学的童鞋经常要用到下列超级蛋疼的公式
电场
和磁场
在三维空间完全是不同的玩意儿，很难看出它们有什么联系。作为四大力学之一的电动力学通常要折腾物理系学生一整个学期，而且如果一不小心考试给跪了的话，还要花更多的时间。
不过如果使用四维时空的语言的话，Maxwell方程就相当地简单了。
上式左边是Maxwell方程组的四维形式，右边是对应的三维形式。
。四维时空的
和三维空间里的电场
和磁场
的关系是
（缩写），下面是展开式
更方便的是把四维的场强
的分量排列成矩阵的形式话，大家会看的更清楚。
以四维时空的观点来看，三维空间里互相割裂的电场
和磁场
能够融为一体成为统一的四维法拉第场强
。
我们还能以更高维的视角来看待电磁场，既五维时空或四维空间的观点。在开始之前，我们要请出一种不是“力”的力即引力。引力是由著名的Einstein方程组描述的，如下
时空告诉物质如何运动，物质告诉时空如何弯曲，是广义相对论最简单的概括！引力不是真正的力而是四维时空弯曲的体现。少部分读者除了费劲脑汁的想弄清楚四维时空到底是如何被掰弯的外，可能还会有这样的疑问：为什么引力可以被理解为时空的弯曲而其它力不行？历史上还真有人是这么想的，不仅想了还找到了电磁力是由什么弯曲产生的。只需要在四维时空的基础上多加一个空间维度。不过这第四维度和其它三个维度有的不一样，其它维度是展开的，如下图。
展开的一个空间维度
不过第四个维度是卷曲的。下图展示了二维空间的一个维度卷起来后是什么样子。沿着第四个方向每过一个圆周长回到原来的位置，因此
。
时空弯曲的秘密被编码在时空两个点之间的距离里，物理学家通常叫它线元或者度规。如果要计算平面两点之间的距离，我们可以使用勾股定理
或者
。
对于曲面上的两点的距离为
。
如果把距离公式里
、
、
前面的系数排列成一个表，
对比一下上面的表可以发现，只要表不能化为左边平面的形式，那么必然是弯曲的。同样的，我们写出五维时空的类似表。我们需要
的表排列成方阵。
我们把蓝色部分留给四维时空的引力，红色部分留给电磁力，剩下的可以暂时不要管它。五维时空引力的作用量是
。我们的魔法操作如下，
上式的
、
、
都是四维时空坐标
的函数。四维时空的量和五维时空的量之间的关系是
，
，
。
，
。
五维时空的曲率和四维时空的曲率关系是
这样五维时空的作用量
变为
只要第四个空间维度卷曲的足够小，四维时空的生物就很难发现它的存在。在这个受限制的维度上的引力规律以四维时空的观点看来就像电磁力规律一样。电磁力和引力一样也能被解释为时空的弯曲，不过不像引力是不受限制的四维时空弯曲，而是第四个空间维度的弯曲。以五维时空的观点来看，只需要引力的规律就足够了，而不像四维时空通常观点，需要引力和电磁力两套物理学规律。高维空间适合拿来统一物理学基本规律！
作者：yinset
来源：知乎
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