避开陷阱
最后一点小提示。为了让大家明白均值回归与我们的生活息息相关，我们必须先了解一下什么是均值或者说平均数。对于那些概率分布比较均匀的场合来说，提及均值或平均数没有一点意义。因为在这些场合，各个数值大都很小，极少有数字较大的情况。比如，如果你收集你所在街区100位男士的身高数据，你可以很快算出这些人的平均身高。在这种情况下，假设比尔·盖茨也搬进了你所住的街区，就算你把他的身高也包括在内，你得出的平均身高也不会与之前的平均身高有多少差异。这是因为就身高而言，盖茨的身高只是中等水平。同时，就算他比常人高一点或者矮一点，他的身高依然不足以改变之前算出的平均身高。
现在，让我们假设你收集了你所在街区的100个人的资本净值信息，并算出了平均资本净值。在这种情况下，如果把比尔·盖茨的资本净值也算进去，那么平均资本净值就会大幅上升，因为盖茨的资本净值可能是你所有邻居资本净值总额的许多倍。在上述情况下，结果偏差太大，我们很难找到评估平均值的合理方式。因此，可以说，均值回归理论只适用于平均数有存在意义的场合。在生活中，均值回归理论适用于许多活动。
均值回归理论设置了一个陷阱，使许多人——从购买热门共有基金的个人投资者到那些曲解自己研究发现的知名经济学家——都落入了它的圈套。这个概念给人们造成了一些错觉。这些错觉跟因果关系、反馈效果及方差减小相关。但是，简单来说，决策者们往往没有充分认识到均值的价值，也没有把以往的结果和均值进行对照分析。
这一章要警示大家的是，要想获得有效的预测结果，你必须仔细考量自己在实力—运气连续体上所处的位置，估算出适当的收缩率，并且在决策时，把回归均值的情况考虑在内。即便是简单又适用的公式c≈r（说明适当的收缩率约等于两个结果之间的相关系数）也能为你进行正确的决策提供必要的指导。
[1]弗朗西斯·高尔顿，遗传身高趋向均值，人类学家协会杂志第15期（1886）：246-263页。
[2]史蒂芬·M.史蒂格勒，图表上的统计数据:统计概念及统计方法的历史（坎布里奇，马赛诸塞州：哈佛大学出版社，1999）：174页。
[3]卡尔·皮尔逊及爱丽丝·李，人类遗传规律：身体特征的遗传，生物统计学第2卷，第4期（1903.11）：357-462页。
[4]丹尼尔·卡尼曼，思考，快与慢（纽约：法拉、斯特劳斯和吉洛克斯出版社，2011）：181-182页。
[5]J.马丁·布兰德及道格拉斯·G.奥尔特曼，回归均值的一些实例，英国医学杂志第309卷，第6957期（1994.9.24）：780页。
[6]史蒂芬·M.史蒂格勒，米尔顿·弗里德曼及统计学，摘自米尔顿·弗里德曼文集，罗伯特·利森编（纽约：麦克米兰出版社，2012）。
[7]霍勒斯·塞克里斯特，商业中平庸的胜利（埃文斯顿，伊利诺伊州：商业研究局，西北大学，1933）。
[8]米尔顿·弗里德曼， 过去的那些谬见是否真的离我们远去了？经济文献杂志第30卷（1992.12）：2129-2132页。想了解人们就回归均值犯的另一个错误，请参见马库斯·李及加里·史密斯，均值回归及足球比赛下注，行为决策杂志第15卷，第4期（2002.10）：329-342页。
[9]丹尼尔·卡尼曼及阿莫斯·特沃斯基，论预测心理学，心理学评论第80卷，第4期（1973.7）：237-251页。
[10]安德里亚·弗拉奇尼及欧文·A.拉蒙特，傻钱：共同基金流及横截面股票收益，金融经济学期刊第88卷，第2期（2008.5）：299-322页。
[11]斯科特·D.斯图尔特（注册金融分析师）、约翰·J.诺依曼、克里斯托弗R.尼特尔及杰弗里·海斯勒（注册金融分析师），价值缺失：机构计划发起人对投资分配决策的分析，财务分析师杂志第65卷，第6期（2009.11/12）：34-51页。
[12]布拉德利·埃弗龙及卡尔·莫里斯，在统计学中斯坦的悖论，科学美国人（1997.5）：119-127页。
[13]威廉·M.K.特洛钦及詹姆士·P.唐纳利，研究方法知识库第三版，（梅森，俄亥俄州：原子狗，2008），166页。更准确地说，r的取值范围可以在0.1～1.0之间，而c的取值范围也同样可以在这个范围。如果出现负相关，那么可以想象，高于平均值的结果后边很可能会出现一个低于平均值的结果，反之亦然。我重点关注正相关的情况，而负相关的情况对我们也有益处。
[14]想要进一步了解汤姆·泰格方法，请登录http://sabermetricresearch.blogspot.com/2011/08/tango-method-of-regression-to-mean-kind.html。
[15]埃弗龙及莫里斯，在统计学中斯坦的悖论，119-127页。
[16]从附录中可以看到，我估计的比赛场次为73场，但是用74这个偶数来代替73的话，会让数学运算变得更为简单，因此我用74来代替73。
[17]想了解贝叶斯定理背后的故事，请参阅莎荣·迈克雷尼，不会被遗忘的定理：贝叶斯规则是如何破解恩格尼密码、追击到俄国潜艇及在两个世纪以来的争议声中最终为人们所接受（纽黑文，康涅狄格州：耶鲁大学出版社，2011）。
