实力=观测结果-运气
定位活动在实力—运气连续体的位置的第三种方法就是真分数理论。这一理论能很好地计算出实力和运气的比重。有必要提一下，这一理论可称为万能公式。其实对于真正的实力，我们并不能明确分辨出，而且实力也会随着时间变化，就像运动员会随着年龄的增加实力会或增或减。周围环境的变化也对实力有一定的影响，就像网球选手在太阳直射的情况下会看不清球来的方向，成绩受到影响。真分数理论和第三章讲的双罐模型出发的角度一致。[12]
下面是真分数理论的公式：
观测方差=实力方差+运气方差
上文将活动定位在连续体中的方法是，先得出运气因素100%、实力因素100%的分布图，然后将两图按照一定比例模拟出实际情况下国家美式橄榄球联盟的成绩分布。现在要讲的真分数理论是方程计算公式，能算出实力的比例。只要知道观测方差和运气方差，就能计算出实力方差：
实力方差=观测方差-运气方差
举个具体的例子。汤姆·泰格是个思虑周全、受人敬重的棒球统计分析师，他讲述过真分数理论运用的五个步骤。[13]美国职业篮球协会（NBA）[14]有30支球队，球队的输赢是人们非常关心的话题。第一步是取样，我们收集了2010～2011赛季NBA30个球队的成绩信息，这些球队要在常规赛季打满82场比赛。第二步是考察每支球队的成绩。2010～2011赛季，芝加哥公牛队荣膺榜首，球赛得胜率高于75%。而明尼苏达森林狼队成绩垫底，得胜率仅仅21%。其他28支球队得胜率在这两者之间。第三步要计算得胜率的标准方差。2010～2011赛季的标准方差为0.161，和前五个赛季（2006年到2010年）的0.159相差不大。因为方差是标准方差的平方，所以得出观测方差为0.026或0.1612。
第四步要计算出，运气因素100%情况下标准方差的分布情况。好比说，比赛开始时裁判投币决定哪一队胜利。这样的决胜方式听起来很荒谬吧，似乎都能上电视新闻的头版头条了，不过这对我们下面的计算很有帮助。用下面的公式可以计算出二项分布的标准方差。公式中，p代表得胜率（比如说0.5），n代表比赛次数（常规赛季为82场）：
运气的标准方差=
带入数字，得出运气的标准方差为0.552，方差为0.003或0.5522。
这样，公式中的三个方差已经知道两个了。第五步就是求出实力方差。
实力方差=观测方差-运气方差
实力方差=0.026-0.003
实力方差=0.023
通过分析观测方差和运气方差的比值，我们可以得出运气因素所占的比例。在NBA的2010～2011赛季，运气因素的比值为12%（0.003/0.026=0.115）。同理，我们可以通过运气因素所占比值的高低为美国的体育联盟排下名次，非常便捷地确定它们在实力—运气连续体上的位置。图4-1统计了一个赛季中几个体育联盟的运气因素比值。图中的数据显示，运气因素比值越高，联盟中球队的水准越平均。
表4-1
职业体育联盟中运气因素所占的比值
来源：作者分析
相较于模拟分析法，真分数理论得出的（职业橄榄球比赛）运气因素比值相对低些。后一种方法计算简便，结果更具说服力。两种方法都证明了，在很多活动中，运气因素的比值不同，结果会有很大变化。两种方法得出的结论能很快捷地帮助我们确定样本的大小。比如说，十场篮球比赛要比十场棒球比赛更能揭示出实力的作用。
有些值得一提的要点，图4-1没有显示。同一体育项目的职业联盟，运气因素所占的比值较为接近，比如前美国篮球协会在1976年被吞并后，其运气因素的比值和NBA渐渐一致。这种现象在曲棍球、篮球、美式足球、英式足球联盟都很常见。可见，与其说运气因素跟联盟的组织管理方式有密切关联，不如说运气因素和运动本身关联更密切。
得分的机会越多，运气对比赛结果的影响也就越大。这样的说法也很有道理。篮球选手抢到球的概率比足球选手高出好几倍。只有抢到球的机会多了，实力才能得到更好的展示发挥。沃维克大学的数学教授伊恩·史都华在他的书《游戏、设置和数学》中讲述了网球比赛的简化模型。命中率53%的网球选手，率先赢得规定盘数取胜的概率为85%，而命中率60%的选手，赢得比赛的概率将近100%。[15]这是因为网球运动中，击球的次数非常多，即样本量大。实力上的些许优势在网球比赛中表现得就会相当明显，样本量大使实力充分发挥，也能抵消掉运气的影响。
此外，在大多数运动中，运气因素的影响正在逐年增大。这就意味着选手的水平慢慢靠拢，导致“实力悖论”的出现。不过，也有例外的。违反“实力悖论”的一项运动就是篮球，和1990年之前的平均水平相比，近几十年来球员的水平竟然渐渐拉大。对这一趋势深入探究下，就会明白“实力悖论”产生的原因以及为什么不适用于篮球运动。[16]
