回归均值和线性可容许估计公式
通过双罐模型，我们也能很好地理解回归均值的问题（一次结果远远超过均值，下一次的结果就会向均值靠近）。抽出总分较高的四组数字——实力-3，运气4；实力3，运气0；实力0，运气4；实力3，运气4。四组的分数之和为15，其中实力的贡献为（-3，3，0，3），运气的贡献为（4，0，4，4）。现在，假设你手上拿着表示实力的球3，就是说实力一直不变，然后从运气罐中重新抽四组球，那么新的四组分数之和是多少呢？由于实力始终为3，而运气的期望值为0，新组合的期望值就是3。这就是回归均值的本质所在。
我们也可以抽出总分最低的四组数字——实力-3，运气-4；实力0，运气-4；实力-3，运气0；实力3，运气-4。四组的分数之和为-15，其中实力的贡献是-3。同样地，实力不变，从运气罐中重新抽四组。由于实力始终为-3，运气的期望值为0，所以新组合的期望值为-3。从-15到-3，实力没有变，但是运气的贡献值从-12变成了0。
大部分人多少都懂点回归均值的规律。双罐模型和实力—运气连续体只是从另一种思维角度帮人们理解这一规律。在双罐模型中，从实力罐抽出一个球作为不变量，代表实力在短期内没有变化，然后从运气罐中随机抽球，记录下球上的数字。这种情况下，实力和运气的总和反映出实力的稳定以及运气的方差。最终决定输赢的还是实力。
活动在实力—运气连续体中的位置可以反映出结果回归均值的概率。完全靠实力，不含运气因素（即运气期望值为0）的活动，结果很容易预测，也不会回归均值。跳棋冠军马里恩·汀斯雷下一整天棋，都不会输，因为他本来就比别人棋高一筹。
现在试想下，如果实力罐里的数字都为0，那么结果如何全凭运气。这样，后续结果的期望值将会大幅度回归均值。完全实力型的活动，结果不会回归均值；完全运气型的活动，结果绝对会回归均值。所以只要能确定一个活动在实力—运气连续体上的位置，就能预测回归均值的概率。
现实生活中，我们做决定之前，并不十分清楚实力和运气会如何影响最后的结果。我们只能凭经验行事。通过引入线性可容许估计公式以及损耗因子系数，我们就能比较客观地计算出回归均值的概率。[18]举个具体的例子，一个棒球手名字叫做乔，在部分比赛中打击率为0.350，球员整体的平均打击率为0.265。大家一定不会认为乔的平均打击率也为0.350，因为一场的成绩代表不了他的实际水平。如果想知道乔的平均打击率，最好的办法就是向球员整体的平均打击率调整。但是调整多少才是他的真实水平，这就需要用到线性可容许估计公式：
可容许真实平均数=总平均数+损耗因子系数（平均观察值-总平均数）
可容许真实平均数代表的就是乔的真实水平，总平均数就是所有球员的均值（0.265），平均观察值是短期内乔的平均成绩（0.350）。布拉德利·埃弗龙和卡尔·莫里斯两位统计学家发表过一篇经典文章，文中估算过棒球均值的损耗因子系数为0.2（他们采用的数据是1970年赛季的小样本均值，所以仅供参考）。[19]将对应的数据代入线性可容许估计公式：
可容许真实平均数=0.265+0.2（0.350-0.265）
计算结果显示整个赛季乔的真实水平为0.282。球员的短期平均成绩低于总平均数也可以运用这一公式。比如说，球员的短期平均成绩为0.175，那么他的真实水平就是0.265+0.2（0.175-0.265），结果为0.247。
纯实力型活动，损耗因子系数为1.0，平均观察值就是可容许真实平均数。当跳棋冠军马里恩·汀斯雷比赛时，最万无一失的猜测是汀斯雷会赢。假定实力水平在短期内不变，运气也没有影响，那么这样猜测绝对不会出错。
纯运气型的活动，损耗因子系数为0，结果的期望值就是运气分布均值。大多数的美国赌场，轮盘赌运气分布均值为5.26%，赌场优势、赌博实力都无法改变这一点。玩家会一时间大赢大输，但是一直玩下去的话，就会输掉口袋中5.26%的钱。如果实力和运气比重相同，那么损耗因子系数就为0.5。所以知道了活动在实力—运气中的位置就可以得出损耗因子系数，实力占的比重越大，损耗因子系数越接近1，运气占的比重越大，损耗因子系数越接近0。在第十章，我们将举例介绍损耗因子系数和实力的关系。
线性可容许估计公式能很好地预测实力和运气都存在的活动。比如，随着时间的推移，投资企业的资本回报率会回归均值。回归均值的概率反映了公司在行业中的竞争力。一般说来，相较于有稳定客户基础的知名公司，科技公司（以及生产短生命周期产品的公司）回归均值的概率更大。所以比起宝洁（最受欢迎的洗衣粉汰渍的生产商），美国希捷科技公司（著名硬盘制造商）会更多经历回归均值的危机。因为搞科技的公司，损耗因子系数接近于0，所以美国希捷科技公司不得不时刻创新，甚至它推出的成功产品货架寿命也不长。
同样，投资也是竞争很大的活动，短期内运气对结果有非常大的影响。所以如果你根据资金管理顾问的以往回报来预测他之后的决策结果，那么损耗因子系数将很低。过去的绩效并不能作为预测未来绩效的参考标准，因为投资中有太多的运气因素。
理解了回归均值的概率对做出正确的预测大有裨益。实力—运气连续体以及双罐模型，为我们提供了一种切实可行的方法来思考并确定回归均值的概率。
到目前为止，我们假定罐子中的数字呈正态分布，但是实际上，很少数据是呈正态分布的。而且不论我们讨论的是运动员、公司还是投资者，实力也会随着时间变化。双罐模型只是囊括并研究不同数据分布的一种方法。在后面的五、六两章，我们会考察实力随时间的变化以及运气表现的形式。
实力—运气连续体这一简单的概念却告诉我们很多的道理。它让我们懂得，运气往往将实力变得无关紧要，尤其是在短时间内，比如《花花公子》封面女郎挑选的股票比专业资金管理顾问选的走势还要好。它也让我们思考人群中的异类，诸如比尔·乔伊、乔·狄马乔。它更让我们估算回归均值的概率，就如估算棒球手的平均打击率。我们做的每一个明智预测，都离不开这些简单的道理。
在第四章，我们会着重介绍一些实际方法，来确定活动在实力—运气连续体上的位置，将所学的理念付诸实践。
[1]见亚当·霍洛维兹、大卫·雅克布、汤姆·麦克尼科尔及欧文·托马斯，商业101个最迟钝时刻，商务2.0，2007.1；约翰·卡尼，花花公子小鸡粉碎雷格·梅森，血色交易，2007.1。
[2]纳西姆·尼古拉斯·塔勒布，黑天鹅：如何应对不可知的未来第二版（纽约：兰登书屋，2010），38-50页；迈克尔·莫布森，反直觉思考：驾驭反直觉力（波士顿：哈佛商学院出版社，2009），107-108页。
[3]马修·拉宾及迪米特里·维亚诺斯，赌徒谬误和热手谬误：理论和应用，经济研究评论第77卷，第2期（2010.4）：730-778页；赌徒谬误在生活的其他领域不存在的探讨请见史蒂文·平克，思维如何运转（纽约：诺顿出版社，1997），346-347页。这一话题的经典论著请见阿莫斯·特沃斯基和丹尼尔·卡尼曼，小概率事件的信仰，心理学期刊第76卷，第2期（1971）：105-110页。
[4]游戏结构也很重要。菲尔·伯恩鲍姆通过比较职业篮球和棒球阐释这一点。在篮球运动中，每队大概能抢到100次球，半数都能得分；在棒球运动中，每队有40次打席数，40%左右的得分率。所以篮球比棒球有更多的得分机会。篮球运动中，得分最高者获胜。棒球运动中，得到更多打席数的队未必取胜。成功取决于上垒的人数和打击成功的频度。篮球运动中，5个球员就决定了球队的成绩；棒球运动中，得分分散在9个球员中。最后一点是，篮球运动中，一个球员可以贡献40%的得分，而在棒球运动中，最优秀的进攻球员也只比其他队员多1/9的打席数。最后两点更加突出了超级明星的意义。见菲尔·伯恩鲍姆，“胜利的赌注”：问题对，答案错，数字解读第16卷，第2期（2006.5）：3-8页。
[5]威廉·费勒，概率论及其应用入门，第一卷第二版（纽约：约翰威立国际出版公司，1968）。
[6]从技术上讲，当运气的分布方差远大于技术的分布方差时，实力高的人也会表现糟糕，技术差的人也会在短期表现良好。方差是衡量数字分布的密集度的。实力和运气分布的方差值差别越大，运气对结果的影响越大。严格地说，当实力和运气呈正态分布时这种观念是正确的。均值用u代表，标准方差用a代表。非正态分布的情况我们也考虑到了。
[7]安打率是击中数除以打数的商。打数指的是球员轮流上垒的次数或打席数，这比你跑到一垒或被球触身的概率小些。见斯蒂芬·杰·古尔德，城市的胜利和悲哀：毕生对棒球的热情（纽约：诺顿出版社，2004），151-172页。
[8]进化生物学家描述过类似的现象，他们将之称为红皇后效应。在刘易斯·卡罗尔的镜中奇遇记中有个红皇后，她说：为了保持原来的位置，你不得不拼了命地跑。也就是说物种为了维持竞争平衡会共同进化。最热门的处理方式请见马特·里德利，红皇后：性和人性的进化（纽约：麦克米伦出版社，1994）。
[9]威尔伯特·伦纳德二世，四成打击率球手的减少：原因和实验，运动行为杂志第18卷，第3期（1995.9）：226-236页。
[10]菲尔·罗森茨维格，光环效应……以及欺骗管理者的另外8个商业错觉（纽约：自由出版社，2007）。
[11]约翰·布兰库，临界点：运动科学预测跑得最快、跳得最高等运动极限（纽约：哈勃和考林斯出版社，2010），207-222页。
[12]麦尔坎·葛拉威尔，局外人：成功故事（纽约：小布朗出版社，2008）。
[13]同上，37页。
[14]乔·狄马乔的传奇人生故事请见克斯特亚·肯尼迪，乔·狄马乔和运动界的最后神奇数字（纽约：体育画报，2011）；迈克尔·塞德尔，连续纪录：乔·狄马乔和夏季赛的.41安打（纽约：麦克劳希尔出版社，1988）。
[15]斯蒂芬·杰·古尔德，城市的胜利和悲哀。
[16]同上。
[17]三成打击率和二成打击率的球员对比是在很多简单假设的基础上的，包括每一轮上场击球的击中率都是稳定、相互独立的，而事实并不总是这样。我们要得出的结论是：实力越扎实的球员连胜的概率越大。引用的内容请见古尔德，城市的胜利和悲哀，185-186页。
[18]线性可容许估计是在斯坦因悖论的基础上改进的。斯坦因是斯坦福大学的统计学家，他的发现一般被称为悖论。悖论为估算真实均值提供了比事件的数学平均值更精确的估算方法，在计算三个或更多均值上更为适用（计算一两个均值时，数学平均值还是更精确的）。斯坦因悖论不同于传统的统计学理论，后者证明了没有别的计算定理比观察平均值整体上更好。更多斯坦因悖论的材料请见布拉德利·埃弗龙和卡尔·莫里斯合著，统计学上的斯坦因悖论，科学美国人，1997.5：119-127页；史蒂芬·史蒂格勒，内曼纪念演讲：高尔顿优生学说视角下的收缩估计量，统计科学第5卷，第1期（1990.2）：147-155页；布拉德利·埃弗龙和卡尔·莫里斯合著，运用斯坦因估计函数分析数据以及数据概化，美国统计协会报第70卷，第350期（1975.6）：311-319页。
[19]布拉德利·埃弗龙和卡尔·莫里斯，统计学上的斯坦因悖论。
